\require{AMSmath}

Reductieformule

Ik moet de reductieformule bepalen van: l met indexje n=
Int (e^x.x^-n)dx, n element van N. Ik gebruik p.i.
Int (x^-n) d(e^x)= en stel u=x^-n, v=e^x. Zodat:
e^x.x^-n - Int (e^x).d(x^-n)= e^x.x^-n + n.Int x^n-1/x²n.e^x.dx= Nu bekruipt mij het gevoel niet op de goede weg te zijn, omdat het antwoord volgens leerdictaat:
l met indexje 0 = e^x + D (Daar kan ik nog inkomen, omdat x⁰=1) en l met indexje n = {(n-1).e^x}/x^n-1 + (n-1)l met indexje (n-1). Dit laatste antwoord zie ik niet zitten. Wie kan mij helpen. Bij voorbaat heel hartelijk dank.

Johan
Student hbo - dinsdag 30 juni 2009

Antwoord

Door de vele symbolen en vage termen als indexje, weet ik niet precies wat je wilt. Wellicht heb je hier iets aan.
De integraal van de functie f(x) = e^x / xⁿ gaat na partiële integratie over in e^x / [(1-n).x^n-1)) +
1/(n-1) maal de integraal van de functie e^x/x^n-1
Dit is ook wel wat ik in je eigen uitwerking meen te kunnen ontdekken.
In wezen is dit de gevraagde reductieformule: je begon met een n-de macht en na de integratie ben je afgedaald naar de (n-1)-de macht.
Door dit procédé te herhalen zul je ten slotte uitkomen op de integraal van de functie y = e^x/x en die laat zich niet in elementaire functies uitdrukken.

Wat ook kan: schrijf de functie y = e^x als machtreeks en deel dan door xⁿ.
Dus: e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ...... + xⁿ/n! + ...
en dan door xⁿ delen, waarna je term voor term kunt integreren.
Dit mag omdat de machtreeks convergent is.

MBL
donderdag 2 juli 2009

©2001-2024 WisFaq