Ik zit met 2 vragen voor ruimtemeetkunde. 1) Een bewegend punt bevindt zich op tijdstip t in P(0,3-t,t). Een 2de bewegend punt bevindt zich op tijdstip t in Q(3+t,0,t). Laat zien dat deze punten zich bewegen langs elkaar kruisende rechten. Heb het volgende gedaan op tijdstip 0 is 1ste punt in (0,3,0) en 2de punt in (3,0,0) Stel dan de 1ste rechte op x=0 en y=3+kt en z=-t en de 2de rechte x=3+st en y=0 en z=st. Maar kom voor dit stelsel als oplossing k=-1 en s=-1 en t=3 op, dus zijn deze rechten niet kruisend? Waar zit mijn fout?
2) Een 2de vraag is: bespreek de onderlinge ligging van de vlakken 2x-ky-z=-1 en x-2ky+z=k en x+ky-2z=1 en heb wel het resultaat, nl. k=-2 dan snijden de 3 rechten en anders 2 aan 2 snijdend. Maar wat is de redenering om tot dit te komen? Zie wel dat ze niet evenwijdig kunnen zijn aan de coëfficiënten van x en y en z.
Vannes
3de graad ASO - donderdag 4 juni 2009
Antwoord
Hallo, Diana. Eerst maar eens een correcte redenering, daarna kijken we wat u fout doet.
1) Stel dat de rechten niet kruisend en dus snijdend zijn. Dan bestaan (eventueel verschillende) tijdstippen u en v zo dat (0,3-u,u) = (3+v,0,v). We concluderen: 0 = 3+v, dus v=-3; 3-u = 0, dus u=3; u=v. De drie conclusies zijn strijdig, dus zo'n snijpunt bestaat niet.
U gebruikt voor u en v scalaire veelvouden van t, dus u=kt, v=st. Dat kan in principe, al is het nodeloos ingewikkeld, mits k en s beiden niet 0 genomen worden. Echter, voor de eerste rechte, stelt men y=3+kt, dan moet men z=-kt stellen ipv z=-t; voor de tweede rechte doet u het correct. Uw "oplossing" geeft dus voor de eerste rechte z=-kt=3, voor de tweede z=st=-3, dus dat geeft geen snijpunt.
2) Meestal hebben drie vlakken drie verschillende snijlijnen die door één punt gaan; dat is alleen NIET zo wanneer de drie normaalvectoren lineair afhankelijk zijn. Uw leraar heeft de drie normaalvectoren (2,-k,-1), (1,-2k,1) en (1,k,-2) echter zó gekozen dat ze altijd lineair afhankelijk zijn: de eerste is de som van de tweede en de derde. Daar geen van de drie normaalvectoren een scalair veelvoud is van één van de andere twee, zijn geen twee van de drie vlakken evenwijdig of samenvallend. Dus treedt het overblijvende geval op: dat alle snijlijnen dezelfde richting hebben. U moet nu voor elke k voor elk tweetal van de drie vlakken de snijlijn bepalen, om te zien of twee of drie van de drie snijlijnen samenvallen. Voor het aparte geval k=0 wil ik u de uitkomst verklappen: dan zijn de drie snijlijnen (-1/3,l,1/3), (1/3,m,-1/3) en (-1,n,-1) verschillend. Voor de andere k moet u de drie snijlijnen zelf bepalen. Dat kunt u voor alle k tegelijk aanpakken. Ik zie aan de formulering van uw tweede vraag dat u er nog niet veel werk aan verricht hebt. Succes.
