Hoe bepaal je het meest Noordelijke (Zuidelijke) punt van een grootcirkel tussen twee punten A en B op aarde? We komen met de bekende formules een heel eind, maar bij de berekening van de initiële koers weten we niet of de gevonden koers de juiste is of dat die bv nog van 180 graden afgetrokken moet worden. Zodoende weten wij ook de berekende afwijking van de lengtegraad van de vertex niet toe te passen op de lengtegraad van de punten A en B. Spelen de plussen en minnen ons parten?
C. Lan
Ouder - vrijdag 13 december 2002
Antwoord
Hoi,
We veronderstellen dat de aarde een bol is met centrum o. We hebben twee punten a en b. We bekijken de cirkel g met centrum o waarop a en b liggen en zoeken de punten die dichtst/verst van de evenaar liggen. We noemen de evenaar g0. Als a en b op g0 liggen, is er geen minimum/maximum. Als a en b niet op de evenaar liggen, dan snijden g en g0 in een rechte L door o. De extremen op g bewegen in een vlak d ^ L wanneer g roteert om L. De extremen liggen dus in het vertikale vlak dat ^ L staat. We kunnen ze vinden door d te snijden met g.
We kunnen een L/B-coördinaat op aarde vertalen naar een (q,f)-coördinaat zodat elk punt op aarde te schrijven is als (x,y,z)=(R.cos(q).cos(f), R.sin(q).cos(f), R.sin(f)). Voor a en b kunnen we dus xyz-coördinaten opstellen (xa,ya,za) en (xb,yb,zb). Een richtingsvector van L ligt in het vlak bepaald door a en b en heeft z-coördinaat gelijk aan 0. Hiermee kunnen we L bepalen, en het vlak d door o dat ^ op L. Alternatief kunnen we d ook bepalen met ez(0,0,1) en het vectorieel product a x b. We kunnen vervolgens de vergelijking opstellen van de snijlijn K van d met het vlak door g.
Een punt u op g kunnen we schrijven als u=l.a+m.b met u2=R2. De extremen liggen ook op K. Hiermee kunnen we de xyz-coördinaten van die extremen berekenen. Zonodig kan je die vertalen naar (q,f)- of L/B-coördinaten. Nog vragen, laat maar weten...
