Ik probeer een vraagstuk op te lossen waarbij ik coordinaat van een persoon weet en de richting waarin deze persoon kijkt. Ik weet ook het coordinaat waar de persoon naar moet gaan kijken. Nu wil ik de draaihoek van de persoon weten (dus hoeveel graden de persoon zou moeten draaien om naar het nieuwe punt te kijken).
Ik heb al het een en ander uitgezocht en ik moet het inwendig en het uitwendig product gebruiken, dit snap ik allemaal. Ik heb ook een voorbeeld gemaakt waarbij mijn berekening klopt.
Het probleem wat ik hier wil voorleggen is dat mijn coordinaten stelsel niet haaks op elkaar staat (de hoek tussen de x en y as van mijn coordinatenstelsel is geen 90 graden), maar in het ene geval 45 graden en in het andere geval 80 graden.
Ik bepaal de punten van de persoon en de gewenste positie natuurlijk volgens "mijn" coordinaten stelsel, naar mijn mening zorgt dit natuurlijk voor een afwijking. Ik heb dit nagerekent en naar mijn mening maakt het niet uit dat het x,y vlak niet netjes haaks ten opzichte van elkaar gepositioneerd is. Is deze aanname juist?
Bart
Student hbo - vrijdag 8 mei 2009
Antwoord
Hallo, Bart.
Noem de oorsprong van je assenstelsel O en geef voor elk punt X de vector van O naar X aan met de kleine letter x. Als de persoon in punt A is en naar punt B moet kijken, is de gewenste kijkrichting de richting van de verschilvector w = b-a. Als hij nu in de richting van punt C kijkt, is de huidige kijkrichting die van de verschilvector v = c-a. Nu moet de hoek j tussen v en w bepaald worden met behulp van het inproduct volgens de formule cos(j) = v.w / (|v|*|w|) = v.w /(Ö(v.v)*Ö(w.w)). Deze formule geldt echter alleen indien de assen loodrecht op elkaar staan, terwijl op beide assen dezelfde lengte-eenheid wordt gebruikt (, dwz de vectoren (1,0) en (0,1) moeten een 'orthonormale basis' vormen). Bewijs: (alleen) onder die voorwaarden is v/|v| van de vorm (cos(a),sin(a)) en w/|w| van de vorm (cos(b),sin(b)), waarbij a (resp b) de hoek tussen v (resp w) en de positieve x-as is, en het inproduct gelijk aan cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) = cos(a-b) = cos(j).
