\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 59167

Re: Re: Piramidegetallen in de driehoek van Pascal

Beste Lieke,

Door uw extra uitleg snap ik het veel beter.
Ik kan de formule zelf vereenvoudigen tot de goede vorm, namelijk: 1/6n(n+1)(n+2).
Die uitwerking is dan toch het bewijs van de algemene formule voor een piramidegetal?
Ik begrijp alleen niet hoe u aan deze formule komt: 1/6n(n+1)(2n+1).
Ik heb de link van u gevolgd en ik heb de uitleg gevonden, maar ik snap daar niks van.
Kunt u mij dat nog uitleggen, en me helpen om ook die formule te verklaren?

Heel erg bedankt dat u mij zo goed helpt, helemaal alleen was ik er nooit uitgekomen.

Met vriendelijke groeten, Lysanne.

Lysann
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 3 mei 2009

Antwoord

Hoi Lysanne,
OK, dan de methode van volledige inductie om te bewijzen dat de som van alle kwadraten van de getallen 1 tot en met n gelijk is aan :
1/6n(n+1)(2n+1)

Je kan controleren dat de formule klopt voor n=1 en n=2:
Voor n=1: 1/6·1·(1+1)·(2·1+1)=1
Voor n=2: 1/6·2·(2+1)·(2·2+1)=5
En inderdaad: 1 ²=1 en 1²+2²=5

Stel we hebben een getal k waarvoor de formule klopt. (We hebben al laten zien dat die er zijn, in elk geval n=1 en n=2)
We gaan nu bewijzen dat de formule dan ook klopt voor n=k+1.

Dat gaat als volgt:
We veronderstellen: De som van de kwadraten t/m n=k is:
1/6·k(k+1)(2k+1)
Vervang nu n=k door n=k+1 en vul dit in in de formule 1/6n(n+1)(2n+1):
Je krijg dan:1/6·(k+1)(k+2)(2k+3)
Bereken het verschil met 1/6k(k+1)(2k+1):
Verschil=1/6·(k+1)(k+2)(2k+3) -1/6k(k+1)(2k+1)=....
Je kan laten zien dat dit verschil is te vereenvoudigen tot (k+1)²
Laat dat zelf zien!

Maar, het verschil van de rij kwadraten t/m k² en de rij t/m (k+1)² is ook gelijk aan (k+1)².
Hiermee heb je aangetoond dat als de formule klopt nvoor n=k, dan klopt hij ook voor n=k+1.
Omdat we geen gebruik hebben gemaakt van de waarde van k mag je zelf elke waarde van k kiezen waarvoor de formule klopt.
Neem eerst k=1 ,daarvoor klopt de formule!
Maar dan klopt de formule ook voor k=2.
Als hij klopt voor k=2, dan klopt hij ook voor k=3en ook voor k=4,k=5, enz.
Dus voor alle k=1.

Dat noemen we volledige inductie.

Een lang verhaal, maar ik hoop dat het duidelijk is.
Het principe wordt ook wel vergeleken met het omgooien van een rij domino stenen. Als jer een omgooit vallen alle stenen die daarna komen ook om.
Als je de eerste steen omgooit vallen alle stenen om!

Het was een lang verhaal, maar ik hoop dat het duidelijk is.
Groeten, Lieke.

ldr
zondag 3 mei 2009

Re: Re: Re: Piramidegetallen in de driehoek van Pascal

©2001-2024 WisFaq