\require{AMSmath}

Vierdegraadsveelterm met complexe coëfficiënten ontbinden

Geachte medewerker van WisFaq,

In mijn cursus over complexe getallen staat de volgende veelterm met meteen ook de oplossing van de ontbinding in factoren:

2z⁴-(4+3i)z³+(1+6i)z²+(2-3i)z - 1
= 2(z-1)(z-1)(z-i)(z-¹/₂i)
= (z-1)²(z-i)(2z-i)

Maar hoe kom je tot deze oplossing? Via welke methode? Het is voor mij al jaren geleden dat ik nog ontbonden heb in factoren. Toen gebruikte ik de regel van Horner maar hier raak ik telkens in de knoop. Het antwoord is waarschijnlijk voor de hand liggend maar ik zie het (voolopig) niet.

Met beleefde groet,

Tanguy

Tanguy
Student universiteit België - vrijdag 1 mei 2009

Antwoord

Hallo

De veeltem wordt nul als je z vervangt door 1.
2 - 4 - 3i + 1 + 6i + 2 - 3i - 1 = 0
Hij is dus deelbaar door z-1
Met de methode van Horner vind je dat
2z⁴-(4+3i)z³+(1+6i)z²+(2-3i)z - 1 =
(z-1)(2z³-(2+3i)z²-(1-3i)z+1)
Deze laatste factor is weer gelijk aan 0 als je z vervangt door 1
Met de methode van Horner vind je dan :
(z-1)(z-1)(2z²-3iz-1)
De laatste factor is nu een vierkantsvergelijking die m.b.v. de discriminant kan ontbonden worden.
Je bekomt dan :
(z-1)²(z-i)(2z-i)

LL
zaterdag 2 mei 2009

©2001-2024 WisFaq