Hoe kan je de volgende gelijkheid aantonen: de som van de kwadraten van het aantal combinaties van k uit n (voor k=0 tot k=n) is gelijk aan het aantal combinaties van 2n uit n?
bedankt
Toon V
Student universiteit België - zondag 19 april 2009
Antwoord
Dag Toon, Er zijn meerdere manieren, maar je kan het inzien door naar de driehoek van Pascal te kijken. Een voorbeeld: Neem n=3. Je wil aantonen dat geldt: 12+32+32+12=20 ook gelijk is aan 6!/(3!·3!)=20. Het aantal manieren om vanuit de top van de driehoek van Pascal bij de 6e rij, derde kolom (=6 boven 3 =20) te komen kan je berekenen door eerst naar de derde rij (1,3,3,1)te gaan. Vanuit die 1 kan je op 1 manier bij 6 boven 3 komen, dus op 1X1 manieren. Vanuit de 3 kan dat op 3 manieren, dus op 3X3 manieren. enz. Het totaal aantal manieren om vanuit de top van de driehoek (0 bonen 0) naar 6 boven 3 te komen is: 12+32+32+12
In feite bekijk je de driehoek op z'n kop vanuit de 6e rij 3e kolom. Om vanuit 6 boven 3 naar de derde rij te gaan zijn er ook 1,3,3,1 manieren.)
Als het niet duidelijk is, of je wil een ander bewijs, dan hoor ik het wel. Groet, Lieke.
