\require{AMSmath}

Primitiveren irrationale functie

Int(Öx/1+x)dx= Stel u=Öx dan is u²=x en verder du=d(Öx),
du=(1/2Öx)dx -- dx=(2Öx)du. Beide leden met Öx vermenigvuldigen: (Öx)dx=(2x)du. Omdat u²=x noteer ik:
(Öx)dx=(2u²)du en ga terug naar de opgave om te substitueren:Int(2u²)/1+u²)du= 2 Int u² d(arctan u + C en nu kan ik niet verder. Het antwoord moet zijn: 2Öx - 2arctanÖx + C. Hieruit blijkt, dat ik heel dicht bij het goede antwoord zit, maar er ontbreekt nog iets? Wie helpt mij hier doorheen? Bij voorbaat heel hartelijk bedankt.

Johan
Student hbo - vrijdag 20 maart 2009

Antwoord

Beste Johan,

Bij je substitutie wil je dx ook in functie van du, vertrekkend van u² = x vind je eenvoudig 2udu = dx. Met x = u² gaat de integraal dan over in:

ò u/(1+u²) 2u du = 2 ò u²/(1+u²) du

Dat had je uiteindelijk ook, maar toch iets omslachtiger gevonden. Trucje:

u²/(1+u²) = (1+u²-1)/(1+u²) = (1+u²)/(1+u²)-1/(1+u²) = 1-1/(1+u²)

Je kan hetzelfde vinden door de staartdeling op deze breuk uit te voeren.

mvg,
Tom

td
vrijdag 20 maart 2009

©2001-2024 WisFaq