Beste mensen, Ik heb 2 vragen over de theorie van Cantor. vraag 1 : Aan de hand van het bewijs dat het interval0,1 overaftelbaar kan er bewezen worden dat het interval 1/3, 3/7 ook overaftelbaar is. Kan ik voor het interval 1/3, 3/7 hetzelfde bewijs als dat bij 0,1 gebruikt is gebruiken?.Ik bedoel hiermee dat je weer getallen gaat kiezen bv 0,34567 , 0,45677890 enz en aantonen dat er steeds een ander getal te vinden is als het maar tussen 1/3 en 3/7 ligt. vraag 2: Als a en b gehele getallen zijn( uit de verz. Z ) dan is de verzamelng van roosterpunten (a,b) aftelbaar. uitleg : Omdat Z nu aftelbaar is dan moet de verz van de roosterpunten ook aftelbaar zijn. Is de gegeven uitleg hier genoeg of moet er wat bij komen? Alvast bedankt. bobby
bobby
Student hbo - donderdag 19 maart 2009
Antwoord
Beste Bobby,
1) Ik weet niet op welk bewijs je doelt, maar ik vermoed iets zoals het diagonaalbewijs van Cantor. Kortweg: je veronderstelt dat alle getallen tussen 0 en 1 opgesomd kunnen worden in een aftelbare lijst en je doet dit aan de hand van de decimale voorstelling. Vervolgens kan je (op een "diagonale manier") een nieuw getal construeren tussen 0 en 1 dat nooit in die lijst kan voorkomen. Hetzelfde zou je kunnen doen met getallen tussen 1/3 en 3/7...
2) Wat doen die "roosterpunten" hier precies? Bedoel je gewoon de verzameling van alle koppels van gehele getallen? Die verzameling is inderdaad ook aftelbaar, maar of die uitleg daarvoor volstaat hangt af van wat je mag gebruiken of hoe rigoureus je bewijs moet zijn. Misschien moet je toch iets duidelijker aangeven wat je wil bewijzen en wat je daarbij mag gebruiken.
0,1
overaftelbaar kan er bewezen worden dat het interval 