Hallo ik ben bezig met integralen (substitutiemethode)
ik heb de volgende 2 problemen. allereerst integraal sinx . cos x. op het interval 0, 1/4pi neem y = sinx dan y'=cos x en dan krijg je de primitieve 1/2 sin(x)2 tot zover wel duidelijk. maar moeten de grenzen niet aangepast worden? bij andere integralen wel, dan moet je de oude grenzen invullen in de nieuw functie y en dan komen de nieuwe grenzen, waarom hier niet en elders wel.
dan nog een integraal waar ik al helemaal niet uitkom. interval [e,e2]: 1/(x.LN(x)) ik dacht als volgt. neem y = LN(x) dan y' is 1/x Dus ik dacht het volgende:
het interval verandert nu van 1 tot 2
1/(ey.y).ey = 1/y dan de primitieve nemen. LN(Y) dan terug substitueren waardoor je iets raars krijgt. LN(LN(x)) HEt mag duidelijk zijn dat ik ergens iets ( of op meerdere plaatsen misschien) iets fout doe.
Zou u zo vriendelijk willen zijn om mij uit de brand te helpen bij deze vragen. bij voorbaat dank voor u tijd.
MVG jan.
jan he
Student hbo - vrijdag 6 maart 2009
Antwoord
Wat de eerste integraal betreft: de substitutiemethode kun je vermijden door op te merken dat sin(2x) = 2sin(x).cos(x) te gebruiken is. Je primitieve is goed, maar omdat je deze in de variabele x hebt uitgedrukt, blijven de grenzen gewoon zoals ze zijn, namelijk de grenzen voor x. Als je de substitutie t = sin(x) gebruikt, dan wordt de primitieve 1/2t2 en als je nu niet 'terugsubstitueert' naar x, dán moet je de x-grenzen vervangen door de t-grenzen.
Wat de tweede integraal betreft: de substitutie t = ln(x) is handig, want dan krijg je direct (1/x)dx = dt zodat de integraal overgaat in de integraal ň1/tdt met als resultaat ln|t|. Als je nu t weer vervangt door ln(x), dan hou je de oorspronkelijke grenzen. Ga je verder met de uitdrukking in t, dan moeten de grenzen aangepast worden. Bij x = e hoort dan t = ln(e) = 1 en op gelijke wijze hoort bij x = e2 de waarde t = ln(e2) = 2 Al met al kom je dan uit op ln(2) - ln(1) = ln(2)
