Ik heb de opdracht gekregen om in een trapezium ABCD de exacte lengte van de aldus verkregen Steinerboom te berekenen. Gegevens: Hoek DAB = 90, Hoek CDA = 90, AD = 4, DC = 2, AB = 3
Alvast bedankt,
Ruben
Ruben
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 8 februari 2009
Antwoord
dag Ruben,
Je bent wel erg summier in je formulering, en geeft ook niet aan hoever je zelf gekomen bent. Nu heb je geluk dat ik nieuwsgierig genoeg ben om nieuwe dingen uit te zoeken, en ik denk dat ik je wel een stukje op weg kan helpen. Als ik het goed begrepen heb, zoek je twee punten P en Q binnen het trapezium, zodat de hoeken $\angle$APQ, $\angle$APB, $\angle$BPQ, $\angle$CQP, $\angle$CQD en $\angle$DQP allemaal 120° zijn.
Alle punten P binnen het trapezium waarvoor geldt: $\angle$APB = 120° liggen op een cirkelboog. Vind het middelpunt M1 van deze cirkel. Alle punten Q binnen het trapezium waarvoor geldt: $\angle$CQD = 120° liggen op een cirkelboog. Vind het middelpunt M2 van deze cirkel.
Hmm... En dan begint het pas, eigenlijk. Hoe vind je nu de juiste punten P en Q? Dankzij collega kn is hier het juiste antwoord: Teken op CD de gelijkzijdige driehoek CDE en de omgeschreven cirkel van deze driehoek. Teken onder AB de gelijkzijdige driehoek ABF en de omgeschreven cirkel van deze driehoek. De lijn EF snijdt de cirkels in de punten P en Q. Dit zijn de Steiner punten. Begrijp je ook waarom? De lengte van de Steiner boom is EF,want DQ+QC=EQ en AP+PB=PF (stelling van Ptolemaeus). groet,
