\require{AMSmath}

Limiet van een oneindige rij

de volgende rij is gegeven:

an = 1+3+5+7+...(2n+1)/n²

a. bereken de limiet van an als n ®¥

Je moet dan de somformule gebruiken. Ik doe het alsvolgt (Het antwoordenboek doet het anders. Dat komt zo)

Lim (n®¥ (2n+1)(1+(2n+1))/2/n² = 4n²+6n+2/2n² = 2n²+3n+1/n²
Alles delen door de grootse onbekende levert: (2n²/n²)+(3n/n²)+(1/n²)/1. Alle termen, behalve (2n²/n²) gaan naar nul. Je zou dus als limiet 2 krijgen. Het antwoordenboek zegt dat de limiet 1 is. Ik kom hier niet uit.
Alvast bedankt.

Mvg.
Klaas

Klaas
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 8 januari 2009

Antwoord

Omdat je wat karig met haakjes bent, kan ik jouw aanpak niet helemaal volgen.
Verder neem ik aan dat het getal n² waardoor je moet delen, niet alleen onder de laatste term staat maar dat de bedoeling is om de volledige optelsom door n² te delen. Kortom: let op haakjes!
Eerst de optelsom 1+3+5+7+....+(2n+1).
Dit is een rekenkundige rij met verschil 2 en er zijn (n+1) termen (als we de startterm a₀ noemen).
De somformule heeft je geleerd dat de optelsom van deze termen gelijk is
¹/₂.(1+(2n+1).(n+1) = ¹/₂.(2n+2)(n+1) = ¹/₂.2.(n+1).(n+1)=(n+1)² = n²+2n+1.

Delen door n² maakt hiervan 1 + 2/n + 1/n²
Voor 'grote' n zijn de laatste twee termen vrijwel gelijk aan 0, zodat de limietwaarde inderdaad 1 is.

MBL

MBL
donderdag 8 januari 2009

©2001-2024 WisFaq