\require{AMSmath}

Vlakken en bollen in R³

gegeven de bol B:(x-1)²+y²+(z+1)²=4

en de lijn l: -1    0 
               3 +µ 1 
               0    1 

gevraagd zijn de vlakken die bol B raken die door lijn l gaan
Ik heb de methode toegepast die ik van de leraar heb geleerd :
Algemeen vlak W opstellen: ax+by+cz=d
steunvector l e W/richingsvector l loodrecht op normaalvector.
Ik heb alles uitgewerkt,en ik kom op deze vreemde vergelijking:
-3a²-2da+d²-16=0 (nadat ik de afstand van middelpunt naar het vlak gelijkgesteld heb aan de straal van de bol.) d(Mb,V)=2
Hoe los ik dit verder op,of heb ik ergens niet goed berekend?

Mario
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 6 december 2002

Antwoord

Wanneer een vlak t.o.v. de 3 coördinaatassen geen speciale stand inneemt (ermee evenwijdig of door een as gaan), dan komen in de vergelijking zowel de x, y als z voor.
Is het vlak bijvoorbeeld evenwijdig met de y-as, dan komt de variabele y niet in de vergelijking voor. Eigenlijk moet je dit lezen als: dan is het vlak van de vorm ax + 0y + cz = d, maar praktisch gesproken ontbreekt de y dus.

Bovenstaand verhaal heeft de volgende betekenis: als je aanneemt dat het vlak dat je zoekt niet evenwijdig is aan de x-as, dan is het getal a zeker ongelijk 0. Dan kun je de vergelijking in ieder geval delen door a, zodat het getal vóór de x dan 1 wordt.
Natuurlijk weet je van te voren niet zeker of het vlak evenwijdig is aan de x-as, maar je kunt de gok altijd nemen. Overigens kun je natuurlijk ook uitgaan van niet evenwijdig zijn met de y of met de z-as, maar het effect is hetzelfde: dan kun je voor de y of voor de z het getal 1 plaatsen.
Het voordeel is duidelijk: één variabele minder!!

Stel dus dat je vlak de vergelijking heeft x + by + cz = d
Leg nu de lijn in het vlak. Ik vul daarvoor twee punten van de lijn in het vlak in, bijvoorbeeld de punten (-1,0,3) en (-4,0,0)
(op zich kun je andere punten van de lijn nemen, maar ik heb een beetje gelet of er veel nullen in voorkwamen; meestal scheelt dat veel gereken).
Je krijgt: -1 + 3c = d en -4 = d
Hieruit volgt dan -1 + 3c = - 4 zodat c = -1

Het vlak krijgt nu de vorm: x + by -z = -4 (nog maar één variabele!) en nu maak je de afstand van dit vlak tot het middelpunt (1,0,-1) gelijk aan 2.

Dat geeft: |1 + 0 + 1 + 4|/(1 + b² + 1) = 2

ofwel 6 = 2(1 + 2b²)

dan: 1 + 2b² = 9 zodat b² = 4 enz.

MBL
vrijdag 6 december 2002

©2001-2024 WisFaq