\require{AMSmath}

Vier deelnemers allemaal één aas

Hoe groot is de kans dat bij het verdelen van een spel kaarten onder vier personen, ieder 1 aas heeft.
Ik heb geredeneerd:

P( dat 1 persoon 1 aas heeft) = (1/13)·(12/13)¹²= 2,94%

...dus P(iedereen heeft 1 aas)= P(persoon 1 heeft 1 aas) · P(persoon 2 heeft 1 aas)·P(persoon 3 heeft 1 aas)·P(persoon 4 heeft 1 aas)= (2,94%)⁴ = 75,1 %

Maar het antwoord blijkt 10,55% te zijn.

jop
3de graad ASO - maandag 8 december 2008

Antwoord

Je rekent (op de 3e regel) volgens mij nu de kans uit wat de kans is dat van de eerste persoon de eerste kaart 'een aas' is en de rest 'niet'. Maar je kan nauurlijk ook best eerst een andere kaart 'geven' en pas later een aas. Dat antwoord kan niet kloppen.

Daarna wordt het nog doller. Je doet nu net of de kans dat de tweede, derde en vierde persoon dezelfde kans op 1 aas heeft als de eerste persoon die je 'uitdeelt'. Dat is gek! Want stel je maar voor dat de eerste drie allemaal 1 aas hebben dan is de kans dat de vierde persoon ook een aas heeft gelijk aan 1. Dus dat klopt niet. Bovendien is het wel bijzonder dat (2,94%)⁴=75,1% is. Is dat zo? Dat moet je nog 's uitleggen!

Kortom: je redering deugt niet.

Maar wat dan? We stellen vast dat dit een telprobleem is zonder terugleggen waarbij de volgorde niet van belang is. Dat zijn meestal problemen die zich 'prettig' laten oplossen met de 5. Hypergeometrische verdeling.

Dat ziet er dan zo uit:



Het is dus niet zo gek om je 's 'ernstig' te verdiepen in de verschillende telproblemen en de aanpak van dit soort problemen.

PS
In de berekening kan je wel mooi zien dat de kans dat de vierde persoon een aas heeft inderdaad gewoon 1 is. Je zou dat dan ook wel weg kunnen laten.

WvR
maandag 8 december 2008

©2001-2024 WisFaq