Ik moet alle Sylow 2-deelgroepen van S_4 vinden (S_4 staat voor de symmetric group of degree 4 (sorry ik weet niet hoe ik dit in het nederlands moet zeggen)). Dit is gelukt, en ik heb gevonden:
En vervolgens moet ik elementen van S_4 vinden die elk van de bovenstaande groepen in de andere conjugeert. Ik vermoed dat a=(2 3 4) zo’n element is en heb het gestest door expliciet te bepalen. Dan krijg ik inderdaad dat conjugate met a P_1 in P_2 verandert, maar enkel voor de laatste 4 elementen in de set. Op een zelfde manier krijg ik dat a P_2 in P_3 conjugeert, maar wederom alleen voor de laatste 4 elementen.
Mijn vraag is dan ook hoe laat ik zien dat dit ook voor de 1e 4 elementen in de bovenstaande expressies for P_1,P_2 en P_3 geld en daarnaast, of er nog meer van dit soort elementen zijn en hoe ik dit in zijn algemeenheid aantoon. Vrienddelijke groet,
Herman de vries.
Herman
Student universiteit - woensdag 3 december 2008
Antwoord
Ik begrijp niet hoe je wel voor de laatste vier maar niet voor de eerate vier elementen p van P1 kunt laten zien dat a-1pa in P2 zit; het allereerste element is (1) en a-1(1)a=(1), dus voor dat element lukt het zeker. Ik heb voor alle p in P1 het product a-1pa uitgerekend en ik kreeg netjes alle elementen van P2. Elk van de zes 3-cykels kun je op deze manier gebruiken om de Pi te conjugeren; je krijgt dan cyclische permutaties van {P1, P2, P3}. De 2- en 4-cykels geven slechts verwisselingen: (12) voert P1 in zichzelf over en P2 in P3 (en omgekeerd). (1324) doet hetzelfde als (12).
V_4, (1 3 2 4)
={ 1,(1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3), (1 2 3 4), (1 3), (1 4 3 2), (2 4)} 