\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 56897

Re: Periode goniometrische functie

Maar is de periode van 1/cos x hetzelfde als cos x dus 2p of niet? Moet je iets speciaal doen met de periode omdat er een breukstreek staat?

Maaike
3de graad ASO - zondag 26 oktober 2008

Antwoord

Ja, de periode van 1/cos(x) is dezelfde als die van cos(x).

Wat je waarschijnlijk wel aanvoelt is dat als je een of andere operatie doet op een functie die periodiek is, het resultaat weer periodiek is.

Stel g periodiek met periode T, dus g(x+T)=g(x) voor elke x. Dan geldt voor een functie h(x) die je kan schrijven als een of andere operatie (noem ze f) op g: h(x+T) = f(g(x+T) = f(g(x) = h(x)


Met andere woorden h heeft ook T als periode, alleen ben je niet meteen zeker of er voor h niet plotseling andere T waarden zijn die kleiner zijn dan de T van f, hoewel dat uitzonderlijk is.

Je kan het een beetje vergelijken met sin(x)/cos(x). Beide hebben periode 2Pi en hun quotient heeft dus ook zeker een 2Pi-periodiciteit. Alleen zijn sin en cos nu net zo (en dat is eerder toevallig) dat hun quotient ook nog een kleinere T heeft waarvoor tan(x+T)=tan(x), namelijk Pi.

Gelukkig is de operatie "1/..." niet zo. De reden is vooral dat als getallen die verschillend zijn in y=1/x stopt, de resultaten ook zeker zullen verschillen. Het kan dus niet zijn dat je door "1/..." te doen op een periodieke functie "per ongeluk" er voor zou zorgen dat de nieuwe functie op een kleinere schaal periodiek zou geworden zijn.

cl
zondag 26 oktober 2008

©2001-2024 WisFaq