\require{AMSmath}

Bol met stippen

Ik weet geen antwoord op de vraag:

Hoeveel stippen kunnen er maximaal op een bol die allemaal op dezelfde afstand van elkaar liggen?
a)3
b)4
c)6

paulie
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 29 november 2002

Antwoord

Hoi,

Op een cirkel kan je 3 punten vinden die op gelijke afstand van elkaar liggen, namelijk 3 punten die een gelijkzijdige driehoek vormen.

Op een bol kan je zeker 4 punten leggen op gelijke afstand vaneen, namelijk 4 punten die een regelmatig tetraëder vormen. Nu nog bewijzen dat het er niet meer kunnen zijn...

Veronderstel dat er meer punten op een bol kunnen liggen die onderling een gelijk afstand d hebben. Kies er willekeurig 3 uit. Ze liggen in een vlak en vormen een gelijkzijdige driehoek met zijde d. Alle andere punten die op gelijke afstand van elk van deze drie punten liggen, liggen op de loodlijn door het zwaartepunt van deze driehoek. Kies een hoekpunt van die driehoek. De bol met straal d snijdt de loodlijn in precies 2 punten. Dit zijn de enige punten die op een gelijke afstand d van de eerste drie liggen. Deze punten liggen echter niet op een afstand d van elkaar (kan je narekenen - aantal keer Pythagoras + Heron). Er kunnen dus hoogstens 4 punten op gelijke afstand van elkaar op een bol gelegd worden.

Groetjes,
Johan

andros
vrijdag 29 november 2002

©2001-2024 WisFaq