\require{AMSmath}

Vergelijking met logaritme van complexe getallen

Beste Wisfaq,

In het kader van complexe getallen wordt er gevraagd de volgende vergelijking op te lossen:

Log(z² − 1) = ^pi/₂

Verder weet je dat Log(z) = Log|z| + i Arg(z)
Wat is de meest efficiente manier om deze vergelijking op te lossen?

Ruud
Student universiteit - vrijdag 26 september 2008

Antwoord

Dag Ruud,

Uit Log(z)=Log|z|+ i Arg(z) zie je dat Log(z) bestaat uit een reëel deel (namelijk Log|z|) en een imaginair deel (namelijk Arg(z)). Als je dat toepast op de opgave, dan merk je dat Log(z²-1)=ip/2 als reëel deel nul heeft (dus log|z²-1|=0) en als imaginair deel p/2, dus Arg(z²-1)=p/2.

Uit dat eerste haal je dat |z²-1|=1 (dat kan je nu zonder problemen doen omdat die |z²-1| een positief reëel getal is!). En het argument van z²-1 ken je nu ook, dat is p/2. Dus van het complexe getal z²-1 ken je zowel modulus als argument, en je besluit dat
z²-1=1*e^i(p/2) dus z²-1=i dus z²=1+i.

Nog even oplossen naar z (daarvoor mss eerst die 1+i nog in exponentiële notatie omzetten) en je bent er.
NB in deze opgave had je ook direct kunnen zien dat z²-1=i, aangezien e^ip/2=i. Maar door met log|z| en arg(z) te werken kan je wel elke soortgelijke oefening aanpakken.

Groeten,
Christophe.

Christophe
zaterdag 27 september 2008

©2001-2024 WisFaq