Gegeven zij een trapezium AFGD met middenparallel BC. We stellen de lengte van de lange basis gelijk aan a, de lengte van de middenparallel gelijk aan m, de lengte van de kortere evenwijdige zijde gelijk aan b.
1. AFGD is een trapezium (gegeven) = AF en GD hebben een snijpunt, dit noemen we E
2. Stel de hoogte van driehoek AED gelijk aan g Stel de afstand tussen de snijpunten van de loodlijn op de basis met de twee evenwijdige zijden gelijk aan 2h
3. Laten we F en G oneindig dicht naderen tot E, dan nadert |FG| tot 0, dan nadert m a/2 en g nadert 2h
4. AABCD = ag - m (g-h) /2
ABFGC = ag-(ag- m(g-h)+ b(g-2h))/2
5. De verhouding nadert dan tot (limiet is dan) m(g-h)-b(g-2h)/ag-m(g-h)
= mh - b*0/ag-mh
= mh/ag-mh
= ah/4ah-ah
= 1/3 QED
PS 1. Bij de vereenvoudiging zou er limietnotatie gebruikt moeten worden. Bestaan hier HTML-tags voor? 2. Wisselen we de teller en noemer om, is de limiet 3 in plaats van 1/3 3. Is het mogelijk om hier een afbeelding bij te voegen (als vragensteller)?
Dank bij voorbaat!
Brent
3de graad ASO - maandag 18 augustus 2008
Antwoord
Je toont hier met veel toeters en bellen aan dat de verhouding 3 of 1/3 wordt bij een driehoek (ik heb het niet gecontroleerd), maar niet of dat inderdaad het grensgeval is waar de verhouding bij andere trapezia zal tussen liggen.
Dat kan eigenlijk nog eenvoudiger dan ik me eerst had voorgesteld. Aangezien beide gebieden zelf trapezia zjn en dezelfde hoogte hebben, verhouden hun oppervlakten zich als
r = (A+M)/2 / (B+M)/2
Met M = (A+B)/2 wordt dat
r = (3A+B)/(3B+A) r = (3x+1)/(3+x)
met x=A/B. Als je nu het verloop schetst van de homografische functie y=(3x+1)/(3+x), met x0, toon je inderdaad aan dat 1/3 r 3.
Dit is een reactie op vraag 56277 
AF en GD hebben een snijpunt, dit noemen we E
r 