Ik moet de volgende differentiaalvergelijking voor x(t)oplossen:
d2x/dt2+25x=0
Ik heb hierbij de volgende beginvoorwaarden: x=5 als t=0 dx/dt=5 als t=1/4p
Ik weet niet hoe ik deze moet oplossen aangezien ik waarschijnlijk op de één of andere manier aan dx/dt moet komen op t=0? Of is er ook een andere manier?
Tine A
Student universiteit - dinsdag 5 augustus 2008
Antwoord
Dag Tine,
Vergeet eerst even de beginvoorwaarden (of beter, randvoorwaarden want je tweede voorwaarde gaat niet over het begin t=0, maar wel over het tijdstip t=p/4).
De differentiaalvergelijking d2x/dt2+25x=0 kan je allicht wel oplossen, eventueel met behulp van de karakteristieke vergelijking of zelfs op het zicht kan je komen tot x(t) = A cos(5t) + B sin(5t) met A en B constanten.
Die constanten A en B kan je nu bepalen aan de hand van de gegeven voorwaarden. De eerste is makkelijk: vul t=0 in in de oplossing en je krijgt x(0) = 5 = A cos(5*0) + B sin(5*0), werk uit.
De tweede voorwaarde bevat dx/dt, dus moet je eerst dx/dt bepalen, dat doe je door x(t) = A cos(5t) + B sin(5t) af te leiden. In de uitdrukking die je dan bekomt, vul je t=p/4 in, je krijgt dx/dt(p/4) = 5 = -5A sin(5*p/4) + 5B cos(5*p/4)
Deze twee vergelijkingen in A en B geven je één unieke oplossing voor A en B. En dus heb je de functie x(t) volledig bepaald.
