Hallo, ik heb een vraagje over de volgende gegeven functie. Er worden hier 4 beweringen over gegeven en een ervan zou niet juist zijn.
f(x) = ax3-bx2-4ax+4bc met a¹0
...bewering 1: als a=2 en c=1 dan heeft de functie b/2 als nulpunt... Dit heb ik simpel bewezen door a en c in te vullen 2x3-bx2-8x+4b=0 met f(b/2)=2(b/2)3-b(b/2)2-8(b/2)+4b=0 geeft = 2b3/8-b(b2/2)-8b/2+4b=0 geeft = 1b3/4-b3/4-4b+4b= inderdaad 0 Dus deze bewering lijkt mij te kloppen
...bewering 2: als b=0 dan heeft de functie 3 nulpunten ... dit zou dan de formule ax3-4ax geven alleen indien a¹0 want dan is de gehele functie 0 Dus alleen op de voorwaarde a¹0 klopt deze bewering ook wel
...bewering 3: heeft in bepaalde gevallen slechts 2 nulpunten ... ax3-bx2-4ax+4bc bijvoorbeeld als a=0,5 b=c=1 dan vinden we twee nulpunten bij x=-2 en x=2 Dus ook deze bewering lijkt te kloppen
...bewering 4: heeft altijd minstens 1 nulpunt... Dat is zeker waar, dat kan gewoon niet anders. Dus deze klopt sowieso
Dan is dus nu de vraag welke van deze 4 beweringen moet dan fout zijn? Volgens de antwoorden die ik zo via via heb gekregen is bewering 3 fout. Maar met willekeurig geprobeerde getallen (die mijn voorbeeld) klopt deze wel. Is dan bewering 2 fout? Ik heb daar welf de voorwaarde bij gegeven dat a geen nul mag zijn, maar dat wordt niet in de bewering genoemd. Klopt deze dan niet?
Hartelijk dank voor uw moeite!
mvg,
Lien
Lien
Student universiteit België - dinsdag 15 juli 2008
Antwoord
Dag Lien, Bewering 1 :heb je keurig aangetoond.
Bewering 2:Als a en b allebei 0 zijn is de functie inderdaad altijd 0, maar als a geen 0 is klopt het: ax3-4ax=0 geeft dan: x3=4x. Dat klopt als x=0, als x=2 en als x=-2.Drie nulpunten.
Bewering 3:Ook dat heb je goed aangetoond, hoewel er natuurlijk nog veel meer mogelijkheden zijn, maar dat wordt niet gevraagd.
Bewering 4: Jouw bewijs "dat kan gewoon niet anders" is dacht ik niet erg wiskundeig. Probeer het tegenvoorbeeld te bewijzen: Zoek een voorbeeld zonder 0-punten. Een derdegraads vergelijking heeft altijd nul-punten, dus a moet 0 zijn.In je beschijving zeg je dat a geen 0 mag zijn, dan is de bewering inderdaad waar. MAar, als je dat zelf hebt toegevoegd... Als a wel 0 is heb je een tweedegraads vergelijking, die zoals je wel zal weten soms geen nul-punten heeft! Zoek maar een voorbeeld en het bewijs is klaar. Succes, Lieke.
Re: Beweringen over functie 