ik heb de parametervgl: x=cos t en y = 1+sint, ik moet daar de oppervlakte van het omwentelingslichaam van berekenen. Ik kend e formule enzo, maar ( 0t2p ), als uiteindelijke integraal krijg ik dan 2p(sint+1), maar welke grenzen moet ik dan nemen ? Ik moet 4p2 uitkomen. Danku
Korneel
Kornee
Student Hoger Onderwijs België - zondag 11 mei 2008
Antwoord
Dag Korneel,
De formule voor de oppervlakte van een omwentelingslichaam van een kromme gegeven door een parametervergelijking, is:
2pòyÖ(x'2+y'2)dt (dat is bij wenteling rond de x-as)
Als je dit uitwerkt krijg je inderdaad
2pò(1+sint)dt
De grenzen voor deze integraal zijn t-waarden (want het is ò...dt). Die zijn blijkbaar gegeven, namelijk t loopt van 0 tot 2p. Als je de integraal uitrekent met deze grenzen, krijg je inderdaad 4p2 (de bijdrage van de integraal van de sinus valt volledig weg).
Het is niet zo moeilijk in te zien dat x=cost, y=1+sint een cirkel voorstelt met straal 1 en middelpunt (0,1). Als je t laat lopen van 0 tot 2p krijg je de volledige cirkel, laat je t slechts lopen van 0 tot p dan krijg je de bovenste helft van de cirkel, enzovoort...
t