\require{AMSmath}

Kwantoren

Ik wil u een vraag stellen over een beantwoorde vraag in uw archief: http://www.wisfaq.nl/show3archive.asp?id=44515&j=2006.

De tweede verzameling is {sÎS : "xÎÆ geldt sÎA_x} dat dit gelijk is aan S volgt, volgens mij uit het feit dat ""xÎÆ geldt sÎA_x" opgevat kan worden als de implicatie "xÎÆ Þ sÎA_x". En aangezien "xÎÆ" altijd FALSE is, is de implicatie altijd TRUE.

Vraag: Is mijn uitleg van dit antwoord juist?

Aangenomen dat het antwoord bevestigend is, volgt hier mijn hoofdvraag. Bestaat een dergelijke opvatting (als implicatie) ook voor de kwantor "$"?

Vriendelijke groet! En dank voor deze geweldige site.

Jim
Student universiteit - zaterdag 5 april 2008

Antwoord

Beste Jim,

Je hebt een mooi onderwerp gevonden. Het korte antwoord is: je uitleg is fout. Het langere antwoord is iets subtieler.

Let we om te beginnen even stellen dat de vraag die jij aanhaalt behoorlijk exotisch is. Het gaat hier om de lege verzameling Æ, en dus om de vereniging en de doorsnede van nul verzamelingen. Het is vanzelfsprekend wat ingewikkeld om daarover te praten.

Maar, jouw vraag gaat over iets anders. Je noemt de verzameling:
{sÎS : "xÎÆ geldt: sÎA_x}. Dat is: de verzameling van alle elementen s uit S waarvoor geldt: (voor alle x uit Æ geldt: s is een element van A_x). Jij hebt het deel tussen haakjes gebruikt en gesteld dat die implicatie altijd juist is. Dat is dus niet zo.

Puf... Dit schrijft niet zo eenvoudig op. Het is enige tijd geleden dat ik dit gedaan heb. Maar nu zie ik ook wat beter hoe de zaak in elkaar zit. Er staan twee implicaties achter elkaar. De implicatie "xÎÆ geldt sÎA_x geldt alleen voor de elementen s uit de bovengenoemde "tweede verzameling". Laten we die V2 noemen. Ook de implicatie die jij hieruit laat volgen geldt alleen voor de elementen uit V2 ("sÎV2 geldt: $xÎS zdd: sÎA_x). Maar, aangezien V2 leeg is, is dat ook een lege bewering.

Als je het zo bekijkt kun je ook de tweede vraag beantwoorden. Is er een vergelijkbaar resultaat voor de kwantor $? Antwoord: Ja, dat betreft de eerste verzameling uit de vraag die jij aanhaalt.

Groet. oscar

os
zaterdag 5 april 2008

©2001-2024 WisFaq