Wat gebeurt er wanneer je vanuit een rijdend busje (150 k/h) een projectiel afschiet. Heeft dit projectiel voor een bepaalde afstand een negatieve snelheid, en passeert dit projectiel dan de "stilstand" en vervolgt het zijn baan, of zal het door de aantrekkingskracht naar de aarde toegetrokken worden? Of, wat gebeurt er wanneer bijvoorbeeld, iemand met een bestuurbaar vliegtuigje in een weiland theoretisch door een openstaand raam van een trein naar binnen vliegt; Komt die dan door het tegenoverliggende raam weer naar buiten? of een raan later?
(ik weet niet of dit een wiskundig probleem is, maar ik loop er al een hele poos mee rond en heb er al vaak over gediscuseerd, maar mischien dat dit mijn kans is om erachter te komen...) Bij voorbaat dank.
Johan
Student hbo - dinsdag 19 november 2002
Antwoord
Hoi,
Dit zijn problemen uit de kinematica/dynamica, maar waar zou die zijn zonder de wiskunde?
We stellen een ruimtelijk punt voor door 3 coördinaten: u(x,y,z).
De snelheid van dit punt is de positieverandering per tijdseenheid; dus: v=du/dt=u'(x',y',z').
De versnelling is de snelheidsverandering per tijdseenheid; dus: a=d2/dt2=u"(x",y",z").
Meer is er niet aan... Voor het gemak kan je je model zo opvatten dat je enkel met x of enkel met x en y moet rekenen. Waarom moeilijk doen als makkelijk kan...
In je eerste probleem veronderstellen we dat het busje met een snelheid v0=150km/h rijdt op het moment dat het projectiel vertrekt. We veronderstellen dat het projectiel van langsachter op het treintje afgeschoten wordt vanop een hoogte h, tegen de rijrichting van de trein in en met (enkel) een horizontale snelheid v1. Het projectiel heeft geen eigen aandrijving en we verwaarlozen de wrijving, turbulenties enzomeer in de lucht. De enige kracht die inwerkt is zwaartekracht. Deze vereenvoudigen vormen de basis van een model waarbinnen we kunnen rekenen en resultaten aan de werkelijkheid toetsen. Als de resultaten niet goed genoeg zijn, dan moeten we het model verfijnen. Praktisch altijd zorgt dit voor veel complexer berekeningen met maar zelden een echt nuttiger resultaat.
We nemen een assenkruis met oorsprong in het punt waar het projectiel wordt afgevuurd. De X-as leggen we horizontaal en in de richting waarin het projectiel vertrekt, de Y-as vertikaal naar boven.
We hebben dus de vergelijkingen: a:(0,-g) (g=9.81m/s2) v:(v1-v0,0-g.t) x:((v1-v0)t,h-g.t2/2)
Afhankelijk van hoe je je assenkruis kiest, kan je inderdaad negatieve snelheden krijgen, maar dit is dus letterlijk relatief... Voor zover je projectiel sneller is dan je busje, zal het dus met een constante, positieve snelheid bewegen. Het valt uiteraard naar beneden en wanneer y=0 zal het op de grond liggen... Voor je tweede probleem kan je veronderstellen dat de trein langs een rechte lijn rijdt met snelheid v. Dat de trein a breed is en dat raampjes b breed zijn en dat er tussen de raampjes een afstand c is. We veronderstellen ook dat de raampjes recht tegenover elkaar liggen. Het vliegtuigje vliegt met een constante snelheid u op een lijn loodrecht op de trein en heeft een spanwijdte van 2d.
Dan moet je berekenen hoelang het vliegtuigje erover doet om de breedte van de trein af te leggen. Dit is t=a/u. In deze tijd t is de trein over een afstand s=v.t=a.v/u vooruitgereden.
Nu wordt het wat puzzelen om te zien of het vliegtuigje door een raampje komt of niet. We leggen een X-as langs de trein zodat de raampjes liggen op [0,b],[c+b,c+2b],[2c+2b,2c+3b], ... Dit zijn de openingen. Als het vliegtuigje binnenvliegt op afstand x van de oorsprong van deze X-as, dan kan het door het eerste raampje als x-d (linkervleugel) en x+d (rechtervleugel) beiden binnen eenzelfde interval liggen uit de serie hierboven. Het komt buiten door hetzelfde raam als x-d+s en x+d+s ook binnen datzelfde interval liggen.
Zoals je ziet... ingewikkeld genoeg om het model eenvoudig te houden. Als je een vliegsimulator bouwt moet het model natuurlijk iets uitgebreider zijn, maar daarvoor heb je dan computers die het rekenen voor jou doen (meestal zijn de vergelijkingen dan zgn differentiaalvergelijkingen waarvan de oplossingen numerisch benaderd worden).
Dit zijn het soort vragen die Einstein er toe aanzetten zijn relativiteitstheorie op te zetten. Blijf verder denken dus... :-)
