\require{AMSmath}

Ouderdomsvergelijking

Goedenavond,

Wij zijn twee leerlingen van het Stedelijk Gymnasium Schiedam en zitten in de vijfde klas. Voor wiskunde B1 moeten wij een Praktische Opdracht maken over differentiaalvergelijkingen...

Wij hadden bedacht om het over radiometrische (koolstof)datering te gaan houden. Daar bij hoort de ouderdomsvergelijking:

t=¹/_$\lambda$·ln(1+^D/_P)

met:
t= ouderdom van het materiaal
D= concentratie van de dochterisotoop
P= concentratie van de moederisotoop
$\lambda$= de vervalconstante voor de moederisotoop

$\lambda$=^ln(2)/_t1/2

met:
t_1/2= halfwaardetijd van het moederelement

Deze ouderdomsvergelijking komt letterlijk van wikipedia...

Hier volgt onze opdracht:
1)
Bestudeer hoofdstuk 17 van Getal en Ruimte deel VWO B5 (stencils). Leg dit in eigen woorden uit als basis voor je PO-onderwerp.

2)
Leg, op het niveau dat klasgenoten het kunnen begrijpen, uit hoe de differentiaalvergelijking van jouw onderwerp is opgesteld.

3)
Maak eerst een eenvoudig model en voeg dan stapje voor stapje dingen toe zodat het model realistischer, maar moeilijker oplosbaar wordt.

4)
Leg de theorie uit die nodig is om het dy_namisch model op te lossen.

5)
Maak gebruik van verschillende oplosmethoden (algebraïsch en grafisch-numeriek) met daarbij grafieken en richtingsvelden. Laat zien wat er gebeurt met jouw model als je begin- en/of randvoorwaarden wijzigt.

Onze vraag gaat over het derde punt van onze opdracht:
Wij hebben nu dus de hele formule en moeten deze opdracht dus eigenlijk achterstevoren uitvoeren. We weten alleen totaal niet hoe dat moet...
Zou iemand ons hiermee kunnen helpen, of in ieder geval ons op weg kunnen helpen?

Alvast hartelijk bedankt!

Met vriendelijke groet,

Jorrit
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 14 februari 2008

Antwoord

Hallo Jorrit,

We definiëren de dichtheid N_P als het aantal deeltjes van het moederisotoop P op plaats x en op tijd t. Dan is dN/dt de snelheid waarmee deeltjes P wegreageren naar het dochterisotoop D. Gelijkaardig is N_D de dichtheid van de deeltjes D.

We kunnen inzien dat de snelheid waarmee deeltjes wegreageren afhangt van het aantal deeltjes. Er geldt zelfs dat hoe meer deeltjes er zijn hoe sneller ze wegreageren. Dus is dN/dt evenredig met N. De evenredigheidsconstante is -$\lambda$ met lambda een positieve constante. Dus geldt er

dN_P/dt = -$\lambda$·N_P $\Rightarrow$ dN_P/N_P = -$\lambda$dt $\Rightarrow$ $\int{}$dN_P/N_P = -$\lambda$$\int{}$dt

Als we dit nu integreren van een tijdstip t₁ naar t₂ en dus N van N(t₁)=N₁ naar N(t₂)=N₂. Er volgt dan dat

ln(N₁/N₂) = -$\lambda$(t₁-t₂)

of

N₁ = N₂·e^{-$\lambda$·(t₁-t₂)}

Nu hebben we dus een formule om de dichtheid van het moedermateriaal te berekenen op alle tijdstippen als we het op één bepaald tijdstip kennen. Stel de tijd dat er nog alleen maar moedermateriaal was gelijk aan t = 0 en de tijd nu gelijk t=T. Er geldt dus volgens de formule dat

N_P(t=T)=N_P=N_P(t=0)·e^{-$\lambda$·T} = N₀·e^{-$\lambda$·T}

Nu weten we ook dat hoewel een moederdeeltje een dochterdeeltje wordt, dat toch het totaal aantal deeltjes gelijk blijft. Dus geldt er dat

N_D(t=0)+ N_P(t=0) = N_D(t=T)+N_P(t=T)

Op tijdstip t = 0 is N_D gelijk aan 0 en N_P(t=0) = N₀= N_P(t=T)·e^{+$\lambda$·T}. Vullen we dit in dan, krijgen we

N_P(t=T)·e^{+$\lambda$·T} = N_P(t=T) + N_D(t=T)
N_P(t=T)·(e^{+$\lambda$·T}-1) = N_D(t=T)
e^{+$\lambda$·T} = N_D(t=T)/N_P(t=T)+1
+$\lambda$·T = ln(N_D(t=T)/N_P(t=T)+1)
T = 1/$\lambda$·ln(N_D(t=T)/N_P(t=T)+1)

Nu is duidelijk dat N_P(t=T) = P en N_D(t=T) = D en we hernoemen T naar t. Hieruit volgt dan dat

t = 1/$\lambda$·ln(D/P+1)

Wat exact is wat er moest bewezen worden. Hopelijk is het duidelijk

FvS
maandag 18 februari 2008

©2001-2024 WisFaq