Totaal 501 punten. uit met dubbel of met bulls eye (=50. 9 darts. Je kunt uit met bv 3x20,3x20,3x20(=180), 30x20,3x20,3x20(=180), 3x20,3x15,2x18 (141) totaal 501. Formule x+y+z=141 of 2x+y+z=141, of 3x+y+z=141, dan 2x+y+z=141 enz. waarbij x, y en z tussen 1 en 20 liggen. Maar ik kom er niet uit hoe ik nou uitreken hoeveel mogelijkheden er totaal zijn om met 9 darts uit te komen.
k.v.le
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 4 februari 2008
Antwoord
Ik vermoed dat je bedoelt 3x+3y+2z=141 en soortgelijke formules...? Voor een nine-darter kan je inderdaad beginnen met 2 180's zodat er nog 141 overblijft. Maar er zijn ook andere manieren (die in de praktijk natuurlijk zelden of nooit voorkomen)
Als je het aantal mogelijkheden wil tellen, moet je gestructureerd te werk gaan. Zo zou je kunnen beginnen met een double vast te leggen. Je moet immers eindigen met een double, dus je moet er zo minstens één smijten. Bijvoorbeeld, als je een bull's eye gooit dan heb je nog 451 punten te verdelen over 8 darts, zonder dat er enige beperkingen zijn op die 8. Merk echter op dat 451 geen drievoud is, dus dat je niet alleen maar triples kan gooien. Je hebt binnen die 8 dus minstens 1 niet-triple nodig. Met 7 triples en 1 single kom je maximum aan 7*60+25=445, dus dat kan niet. Met twee doubles en 6 triples kom je maximaal aan 2*50+6*60=460, dus misschien kan dat wel: je hebt dan 9 punten te veel. Dat kan je opvangen door * een T20 te vervangen door T17 * twee T20's te vervangen door een T18 en een T19 * drie T20's te vervangen door drie T19's
Dat geeft dus de outs * 5*T20, T17, 3*D25 * 4*T20, T18, T19, 3*D25, * 3*T20, 3*T19, 3*D25
Nog steeds werkend met D25 moeten we nog de outs tellen die bestaan uit slechts één andere double: dus 7 triples en 1 double moeten samen 451 geven. Die double kan niet D25 zijn want dan zou er voor je 7 triples nog 401 overschieten en dat is geen drievoud. Eenzelfde redenering leert je dat je enkel kan werken met D20 en D17. D14 of lager kunnen niet omdat je dan niet toekomt: 7*60+28=448451.
Met D20 hebben we dus nog 451-40=411 punten te verdelen. 7*T20 zou 420 geven, dat is 9 te veel, dus je kan op dezelfde manier als het vorige geval komen tot drie outs, concreet worden deze: * 6*T20, T17, D20, D25 * 5*T20, T18, T19, D20, D25 * 4*T20, 3*T19, D20, D25
Met D17 hebben we nog 451-34=417 punten te verdelen. 7*T20 zou 420 geven, dat is 3 te veel, dus je krijgt alleen een out door een T20 te vervangen door T19, dit geeft * 6*T20, T19, D17, D25
Volgend geval: we gooien onder meer een D20, maar geen D25, want alle gevallen met D25 hebben we net behandeld. Dat zorgt ervoor dat je nog 461 punten te gooien hebt met 8 darts. Dit is opnieuw geen drievoud, dus je zal in die 8 ofwel een single nodig hebben (dat kan niet want dan kom je maximaal aan 7*60+25=445461) ofwel een double (maar dat kan ook niet want dan kom je maximaal aan 7*60+40=460461).
Hieraan zie je dat je (vermits we alle gevallen met D25 al behandeld hebben) enkel nog rekening moeten houden met outs die bestaan uit 8 triples en 1 double. Die double kan voorts enkel nog D18 (465 left), D15 (471 left), D12 (477 left) zijn. (argument dat het resterende een drievoud moet zijn). 8*T20 zou je 480 geven, dus je ziet dan wel hoe je hieraan kan geraken. Als het goed is zou je moeten komen op respectievelijk 7, 3 en 1 combinaties.
Alles samen: 18 dartcombinaties. Dit is nu nog niet het aantal mogelijke out shots, want je kan de volgorde waarin je de darts gooit nog variëren. De enige manier om dit te tellen, is geval per geval kijken, ik zal er eentje voordoen: * 5*T20, T18, T19, D20, D25
Je hebt hierin twee doubles, kies er één uit waarmee je wil eindigen (kan op twee manieren). Voor de overige acht darts heb je dus nog vier verschillende waarden, namelijk T20 die vijf keer voorkomt, en T18, T19 en je andere double die elk één keer voorkomen. Het tellen van het aantal volgordes geeft je dan 8!/(5!1!1!1!)=336, nog te vermenigvuldigen met 2, geeft 672. Dit kan je voor elk van de combinaties doen. Ik kwam hiervoor uit op alles samen 3944, en dat is ook het getal dat je met wat gegoogle terugvindt.
451. 