Er is een gebied D. D wordt gegeven door: x = r cos(t), y = r sin(t) en z = t. Waarbij geldt: 0 t 2p en 0 r 1. Ik weet dat D eruit ziet als een spiraal, ik heb alleen geen flauw idee hoe ik de oppervlakte moet gaan berekenen.
Bas Gr
Student universiteit - zondag 13 januari 2008
Antwoord
Het berekenen van een oppervlakte moet via een oppervlakte-integraal en dat is absoluut geen sinecure. Deze integraal is in het algemeen
òò|¶f/¶t x ¶f/¶r| dr dt over het oppervlak.
Hierbij is f de vectoriële parametervoorstelling van het oppervlak. In dit geval is dit dus f = (r cos(t), r sin(t), t). ¶f/¶t is de partiële afgeleide naar t en dit geeft ¶f/¶t = (-r sin(t), r cos(t), 1) ¶f/¶r is de partiële afgeleide naar r en dit geeft ¶f/¶r = (cos(t), sin(t), 0) ¶f/¶t x ¶f/¶r is het vectorieel product van beide functies en geeft ¶f/¶t x ¶f/¶r = (sin(t), -cos(t), r) |¶f/¶t x ¶f/¶r| is de lengte van deze vector en ditgeeft dan weer |¶f/¶t x ¶f/¶r| = Ö(r^2+1)
Nu kunnen we eindelijk beginnen integreren. We stoppen dit in de integraal en dit geeft
òdr Ö(r^2+1) òdt
De integraal over t geeft gewoon t aangezien het argument er niet van afhankelijk is. Tussen de grenzen 0 en 2p geeft dit triviaal 2p. De integraal wordt dus het volgende
2pòdr Ö(r^2+1)
Dit lossen we verder op met hyperbolische functies.
r = sinh(x) = dr = cosh(x) dx en Ö(r^2+1) = cosh(x)
Nu is de integraal dus het volgende
2pòdx (cosh(x))^2
Hierbij is (cosh(x))^2 = (cosh(2x)+1)/2. Verder volgt dus
Hierbij werd rekening gehouden met sinh(2x) = 2 sinh(x)cosh(x). Nu substitueren we terug r in de formule = p(r*Ö(r^2+1) + argsinh(r)) = p(r*Ö(r^2+1) + ln(r+Ö(r^2+1))
Met argsinh(r) = ln(r+Ö(r^2+1)). Dit moeten we nu evalueren tussen nul en 1. Dit geeft dus = p(1*Ö(1^2+1) + ln(1+Ö(1^2+1) - 0*Ö(0^2+1) + ln(0+Ö(0^2+1))) = p(Ö2 + ln(1+Ö2) 7.21179788.
t 
dr = cosh(x) dx en Ö(r^2+1) = cosh(x) 
7.21179788.
