\require{AMSmath}

Inverse van functie 2sinh - cosh

Ik moet aantonen dat de inverse van de volgende functie bestaat:
y = 2sinh x - cosh x

Dit was mijn aanpak:
y = e^x - e^-x - 0.5e^x -0.5e^-x = 0.5e^x - 1.5e^-x

Alleen nu weet ik het verder niet meer. Als ik zeg 'stel e^x = u' dan krijg je y = 0.5u - 1.5/u.
Dan vermenigvuldig je beide kanten met u en daar kun je vervolgens (in mijn ogen) niets meer mee:
uy - 0.5u² - 1.5 = 0

Hier weet ik niet meer hoe het verder moet. BVD!

Bart
Student universiteit - zaterdag 12 januari 2008

Antwoord

Jouw aanpak lijkt me toch goed te zijn, alleen moet je de juiste tweedegraadsvergelijking oplossen. Als je alles aan een kant brengt krijg je immers het volgende.

0,5u²-uy-1,5 = 0 = u²-2uy-3

Dit geeft

u = y±Ö(y²+3) = e^x
= x = ln (y±Ö(y²+3))

We hebben nu twee mogelijkheden, de oplossing met plusteken en die met minteken.
Laten we als voorbeeld het minteken gebruiken. Als y dan kleiner dan nul is, dan is het argument kleiner dan nul. Als y groter dan nul is, wordt van y een (poitief) getal afgetrokken dat sowieso groter is dan y. Ook nu is het argument dus negatief. Een (reeel) logaritme is niet bepaald voor een negatief argument.

Als we dezelfde logica op de oplssing met plusteken toepassen, bekomen we een argument dat altijd positief is.

De reële oplossing is dus x = ln (y+Ö(y²+3))

FvS
zaterdag 12 januari 2008

©2001-2024 WisFaq