\require{AMSmath}

Priemgetal

Hoi,

Mijn vraag luidt als volgt:

laat a, b en c gehele getallen ongelijk aan nul zijn met 'a is niet gelijk aan c' zo dat:

(a/c)=(a²+b²)/(c²+b²).

Bewijs dat a²+b²+c² geen priemgetal is.

A.G.
Student universiteit - woensdag 13 november 2002

Antwoord

Hoi,

Uit je voorwaarde voor a/c haal je dat b²=ac
(ook omdat a en c verschillend zijn).

Dus:
a²+b²+c²=
a²+ac+c²=
a²+2ac+c²-ac=
(a+c)²-b²=
(a+c+b)(a+c-b) [1]

We nemen b0 (voor b0 rekenen we verder met -b)

In [1] is a+b+c>1
We bewijzen nog dat a-b+c>1.

Stel s=a+cb+1
a en c zijn dan oplossingen van
X²-sX+p=0 met p=ac=b²
a en c bestaan enkel als s²-4p0 of als s²4ac=4b² of als s2b.

Nu is per aanname sb+1. Dus moet b+12b of b1. Dus moet b=0 of b=1. Voor b=0 moeten a of c 0 zijn, wat niet kan, voor b=1 moeten a=c=1, wat ook niet kan.

De veronderstelling is dus vals. En dus: a-b+c>1.

[1] stelt dus een ontbinding voor van a²+b²+c² dat daarmee geen priemgetal kan zijn. QED.

Groetjes,

Johan

andros
woensdag 13 november 2002

Re: Priemgetal

©2001-2024 WisFaq