D is de driehoek in het x,y-vlak met hoekpunten (0,0), (0,1)en (1,1). V is het lichaam in de x,y,x-ruimte, begrensd door de platte vlakken x=0, y=1, x=y en z=0, en de paraboloïde z=4-x2-y2.
Vragen hierbij: 1. Teken V. 2. Laat zien dat de inhoud van V gelijk is aan de Dubbelintegraal (over D) (4-x2-y2)dx dy. 3. Bereken de inhoud van V.
E.T.M.
Student hbo - woensdag 13 november 2002
Antwoord
Beste E.T.M. Jacobs,
Je wilt dus uiteindelijk de inhoud van V bepalen op het gebied begrenst door D. Met D als driehoek en V als parabloïde. Als eerste vraag je naar de tekening. Dit kan je als beste als volgt doen: a) Stel y=0 en bereken enkele punten voor x en z b) Stel x=0 en bereken enkele punten voor y en z Teken deze punten en maak er een mooie 3d tekening van. Je krijgt dan als het goed is iets als hieronder:
Teken in dezelfde grafiek ook de driehoek. Verder moet je nog de inhoud van V berekenen op het gebied van: x = 0..1, maar pas op y = 0..x Want als x=0,5 dan geldt ook dat y=0,5. Dus we krijgen dan: òò4-x2-y2 dy dx Dus: ò(ò4-x2-y2 dy, y=0..x) dx Eerst het gedeelte tussen haakjes: ò4-x2-y2 dy, y=0..x = 4y-yx2-1/3y3 | y=0..x = 4x-x3-1/3x3 - 0 = 4x-x3-1/3x3 = 4x-11/3x3 Invullen en we houden over: ò4x-11/3x3 dx, x=0..1 = 2x2-1/3x4 | x=0..1 = 2·13-1/3·13 - 1/3·03= 2-1/3=12/3
