Wij moeten een PO maken over Taylorreeksen en deze moeten we stapsgewijs uitleggen. Maar wij snappen niet wat je nou eigenlijk met de Taylorreeks uitrekent en wat de eerste stap is die je moet zetten. Zou u ons misschien kunnen helpen?
Groeten
valesc
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 9 december 2007
Antwoord
Hoi Valesca,
De Taylorreeks ziet eruit als: a0 + a1·x + a2·x2 + a3·x3 + ... met a0 = f(0), a1 = f'(1), a2 = f''(0)/2!, a3 = f'''(0)/3!, etc. Maar dat weet je al.
De a0, a1, a2, etc. zijn dus gegeven. Als je nu voor x een getal invult kun je proberen de som uit te rekenen. Voor sommige x lukt dat wel. Voor ander niet.
Neem bij voorbeeld de reeks: S = 1 + x + x2 + x3 + ... Voor x = 0,5 komt daar S = 2 uit. Maar voor x=1 zie je eenvoudig dat de som niet convergeert (er zou oneindig uitkomen en dat kan niet).
Over het algemeen convergeert de reeks als x maar klein genoeg is. Het bovenstaande convergeert voor alle x tussen -1 en 1, oftewel voor |x|$<$1.
Wanneer een reeks convergeert voor alle |x|$<$r en niet daarbuiten, noem je r de convergentiestraal van de reeks. Er zijn ook reeksen die voor elke x convergeren. Dan is de convergentiestraal oneindig.
Nu nog de vraag hoe je dan de straal berekent. Een somreeks convergeert (alleen) als de n-de machtswortel van de n-de term kleiner dan 1 is voor grote n. Hier is dat n√(an·xn)=x·n√an. Dus als n√an naar een getal a convergeert is de convergentiestraal 1/a.
In het bovenstaande voorbeeld is dat heel makkelijk. Immers alle an zijn gelijk aan 1. Dus de convergentiestraal is 1/1 = 1.
Maar kijk eens daar de reeks S = 1 + 2x + 4x2 + 8x3 + ... oftewijl an = 2n dan vindt je simpel een convergentiestraal 1/2 = 0,5.
Hoop dat dit het wat duidelijker maakt. Groet. Oscar.
Re: Taylorreeks
