De boom van pythagoras is niet de enige fractal waarvan ik de dimensie uit moest rekenen. ik doe namelijk mijn PO (practische opdracht) over fractals. bij die andere fractals lukt het me wel. neem nou de kromme van Koch. je hebt 1 lijn. die word verdeeld in 3 stukken. het middelste deel van de drie stukken wordt vervangen door 2 lijnen van dezelfde lengte. dus nu heb je 4 lijnstukken. vervolgens is het alleen een kwestie van de formule invullen d = log n / log k, waarbij n het aantal lijnen/figuren en k de factor waarmee de lijn/figuur verkleint wordt. hier dus log 4 / log 3 = 1.26. mijn probleem bij de boom van pythagoras is dat ik niet weet wat de verkleiningsfactor is en ook niet het aantal lijnen/figuren die ontstaan.
ik hoop dat dit genoeg is om mij verder te helpen. alvas bedankt,
Linda
Linda
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 8 december 2007
Antwoord
Dag Linda,
Het antwoord is niet zo eenvoudig. Om eerlijk te zijn ben ik er nog niet helemaal uit. Ik heb zelf om advies gevraagd maar helaas geen antwoord gekregen.
Welnu. Je gebruikt de volgende definitie: Als je een verzameling kunt precies kunt overdekken door n kopieen die met een factor k verkleint zijn, dan is de dimensie log(n)/log(k). Bij de koch-curve kom je netjes op log(4)/log(3). Maar, bij de boom van Pythagoras is dit niet mogelijk. Dus moet je een andere definitie gebruiken.
Dan is er nog een tweede probleem. De boom van Pythagoras overdekt zichzelf. Dat betekent dat je niet alle driehoeken en vierkanten helemaal mee moet rekenen. Dat maakt het ook niet eenvoudiger.
Een algemenere definite is de volgende: bekijk voor verschillende stralen r hoeveel cirkels met straal r je nodig hebt om je verzameling te overdekken (vierkanten met zijde r mag ook maar is iets minder algemeen). Noem dat aantal N(r). Al je nu -log(N(r))/log(r) neemt voor hele kleine stralen, dan krijg je de dimensie. Voor de Koch curve krijg je weer netjes log(4)/log(3). Immers je kunt de curve overdekken met 4n cirkels met straal 1/3n. Ook kun je eenvoudig bewijzen dat een lijnstuk dimensie 1 heeft, een vierkant dimensie 2 en een kubus dimensie 3.
Maar, werkend aan jouw probleem kwam ik een onduidelijkheid in de definitie tegen. Want, wat wordt er bedoeldt mete "hoeveel cirkels ... je nodig hebt". Een lijn met lengte 1 kun je overdekken met N(r) = 1/2r cirkels. Dan krijg je dimensie 1. Maar je kunt hem ook overdekken met N(r) = 1/r2 cirkels. Het is wel niet logisch, maar het kan wel. Dan krijg je (foutief) dimensie 2. Waarschijnlijk moet er iets met "minimaal aantal" komen, maar ik kom er niet helemaal uit.
Nu nog even over de boom van pythagoras. Daarvan blijkt de dimensie toch niet zo moeilijk te vinden. Het eerste vierkantje (met zijde z) heeft namelijk al dimensie twee. Dat is natuurlijk logisch. Maar je hebt ook N(r)=1/2(z/r)2 om hem te overdekken. Voor de hele boom heb je natuurlijk meer cirkels nodig. Dus is de dimensie twee of groter. Aan de andere kant ligt de hele figuur in een plat vlak. Daardoor is de dimensie twee of lager. Er is dus maar één mogelijkheid. De dimensie moet wel twee zijn. Dat is ook waar allerlei anderen op uitkomen. Maar een goed bewijs heb ik nog niet gezien.
Het bovenstaande bewijs is wel een beetje kinderachtig. Maar daar is niets aan te doen. De boom van pythagoras is (lijkt mij) gewoon niet zo'n mooi figuur om de dimensie van te bepalen.
Dit is een reactie op vraag 53399 
