Omdat we nu met een vlak te maken hebben, is het handig om twee "coördinaat" assen in te voeren. De getallenlijn waar we tot nu toe altijd mee gewerkt hebben, noemen we de reële as en de as loodrecht daarop door het getal 0 noemen we de imaginaire as. De eenheid langs de imaginaire as noemen we i Het voordeel van deze assen is dat we complexe getallen dan op twee manieren kunnen vastleggen.
* Door de lengte van de pijl en de hoek die de pijl maakt met de positieve reële as. * Door de pijl te "ontbinden" en de lengte te geven van het reële deel en het imaginaire deel.
We noteren het reële deel van c als Re(c) en het imaginaire deel als Im(c). Stel dat we voor een complex getal vinden Re(c) = 3 en Im(c) = 2. Het getal wordt dan vaak op de volgende manier genoteerd: 3 + 2i
De oplossingen van het bovenstaande sommetje zijn met die schrijfwijze: ±2i , want deze getallen lagen op de imaginaire as en hebben dus geen reëel deel. Nog een voorbeeld: x2 - 6x + 13 = 0 Toepassing van de abc-formule levert, na vereenvoudiging op dat de oplossingen van deze vierkantsvergelijking gegeven worden door 3 ± √-4, dus door 3 ± 2i
Ik snap nu echter niet waarom 3 + 2i = De oplossingen van het bovenstaande sommetje zijn met die schrijfwijze: ±2i , want deze getallen lagen op de imaginaire as en hebben dus geen reëel deel. ?
Alvast bedankt!
Claudi
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 6 december 2007
Antwoord
Beste Claudia,
Ofwel ontbreekt er in het midden van je verhaal een stuk, ofwel klopt het (inderdaad?) niet. Je verhaal over de voorstelling van complexe getallen in het vlak, is correct. Een complex getal c met Re(c) = 3 en Im(c) = 2 noteren we dan 3+2i. Dit is niet hetzelfde als het complex getal 3-2i, want daarvan is het imaginair deel -2 en niet 2.
Dan heb je het over oplossingen van "bovenstaande som", maar ik zie nergens een som. De vergelijking die als oplossingen ±2i heeft, is bijvoorbeeld de vergelijking z2 = -4. Ga zelf na dat zowel 2i als -2i voldoen, als je weet dat i2 = -1.
Bij kwadratische vergelijkingen, als de discriminant D negatief is, gebruik je het volgende: ±Ö(D) = ±iÖ(-D). Hierin is D positief dus heb je een gewone reële wortel.
Re: Complexe getallen 