Gegeven dat lim (n- oneindig) an = a bewijs of geef een tegenvoorbeeld voor de volgende stelling:
als sn = 1/n (a1 + a2 + ... + an) dan sn - a als n- ondeindig.
Het probleem is het volgende. Als ik schrijf:
sn = (a1/n) + (a2/n) + ... + (an/n) dan gaat sn naar 0 als n- oneindig (en dus niet per se naar a).
Echter deze formule is als het ware de formule voor het gemiddelde. En dus sn = na/n = a ...
Ik hoop dat jullie me kunnen helpen.
Pieter
pieter
Student universiteit - zondag 2 december 2007
Antwoord
In je "afleiding" dat sn naar nul zou gaan verlies je uit het oog dat het aantal termen ook van n afhangt. De gezamenlijke teller is dus ook een functie van n, zodat je uit de n in de noemer geen conclusies kan trekken
In het volgende bewijs veronderstel ik de limietwaarde a=0 om de notatie niet nodeloos te verzwaren. De rij {an} gaat dus naar 0 en we moeten bewijzen dat dat ook voor {sn} geldt.
Die vraag is per definitie dezelfde als:
"Kan ik |sn| willekeurig klein (kleiner dan, stel, es) krijgen door n voldoende groot (groter dan, stel, Ns) te nemen?"
Wel, er geldt dat
|sn| = |a1+...+an| / n (1/n)(|a1|+...+|an|)
Kies nu eerst een (voorlopig) willekeurige ea. Door het bestaan van de limiet van de rij {an} weten we dat vanaf een of ander rangnummer Na geldt dat |an|ea. Als we veronderstellen dat n al minstens groter is dan Na, kunnen we bovenstaande som opsplitsen en stellen dat
|sn| (1/n)(|a1|+...+|aNa|+(n-Na)ea)
of, de eerste Na termen groeperend in X(Na)
|sn| (1/n)(X(Na)+(n-Na)ea)
Als we het rechterlid kleiner kunnen krijgen dan es dan zal ook |sn| dat zijn. Wel, de ongelijkheid
(1/n)(X(Na)+(n-Na)ea) es
wordt na wat herwerken
n (X(Na) - Naea) / (es - ea)
als we tenminste ea kleiner nemen dan es (waarom is dit logisch?).
Samenvattend: Als iemand met een es komt aandraven waar jij een passende Ns voor moet vinden, dan kies je een eaes (maar verder naar keuze) en bepaal je daar de bijbehorende Na bij (die bestaat wegens het bestaan van de limiet). Een mogelijke Ns wordt dan gegeven door
Ns = max(Na, (X(Na) - Naea) / (es - ea))
PS: Dit is een topic waar je (te) snel van kan denken dat je het begrijpt. Neem dus alles goed door en probeer in te zien waar de cruciale punten liggen in de redenering.
oneindig) an = a bewijs of geef een tegenvoorbeeld voor de volgende stelling:
(1/n)(|a1|+...+|an|)
ea. Als we veronderstellen dat n al minstens groter is dan Na, kunnen we bovenstaande som opsplitsen en stellen dat