\require{AMSmath}

Baansnelheid

Ik kom niet uit het volgende probleem:
Gegeven is de Lissajous-kromme door: x=cost en y=cos3t
De vraag is wat is de baansnelheid in het punt met t= p/4?
Ik heb de formule v(t)= Ö(-sint)² + (-sin3t)² toegepast en ik kom uit op Ö5.

Ik kan echter ook de pv. verbouwen tot y = 4x³ - 3x.
Ik dacht: de afgeleide nemen, x = ¹/₂Ö2 invullen en klaar is Katrijn. Maar nu komt er 3 uit en geen Ö5.
Welke denkfout maak ik nu? De snelheid in een punt is toch gewoon de afgeleide in dat punt?

En als tweede vraag: wat kun je het beste doen om de maximale baansnelheid uit te rekenen: via de pv, via y = 4x³-3x of de GR?

Alvast heel erg bedankt

Katrij
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 19 november 2007

Antwoord

Beste Katrijn,
In je uitwerking van de formule voor
v(t)=Ö(x'(t))2+(y'(t))²
vergeet je de kettinregel op te schrijven. Je hebt hem echter wel toegepast, want je antwoord klopt. Een verschrijving dus.
Je maakt inderdaad een denkfout, maar met die "omgebouwde formule" kan je ook wel tot het goede antwoord komen:
dy/dx=3 klopt, maar dat is de tangens van de helling van de grafiek als t=p/4 en niet de snelheid.
Met de stelling van Pythagoras kan je berekenen dat de snelheid langs de grafiek , of langs de raaklijn Ö(3²+1²)=Ö10 keer zo groot is als de snelheid gemeten langs de x-as.
De snelheid langs de x-as=dx/dt=1/2*Ö2.
De snelheid lang de raaklijn is dan:
Ö(10)*1/2*Ö2=Ö5.
Was dat de bedoeling?
Wat betreft je tweede vraag, als je je "omgebouwde" formule gebruikt krijg je een formule waar zowel x als sin(t) in voorkomt. Omdat het eigenlijk op hetzelfde neerkomt denk ik dat het uiteindelijk niet zo heel veel zal uitmaken.
Probeer het allebei maar eens.
Vraag maar weer aLs het niet lukt.

ldr
maandag 19 november 2007

©2001-2024 WisFaq