Ik moet een praktische opdracht voor wiskunde maken en ik wou graag wat informatie over huygens. Mijn vraag: Wat is een bekend probleem van Huygens en hoe heeft hij het opgelost? alvast bedankt
anne
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 10 november 2002
Antwoord
Dat is een mooie opdracht. Christiaan Huygens was een genie, een van de grootste geleerden die Nederland heeft voortgebracht. Hij is een zoon van Constantijn Huygens (dichter en staatsman). Hij leefde van 1629 tot 1695. (Een goed leesbaar boek over hem is geschreven door C.D. Andriesse : Titan kan niet slapen, Een biografie van Christiaan Huygens. 1993, ISBN 90-254-0564-9)
C.H. is van hetzelfde niveau als zijn beroemde tijdgenoten Newton en Leibniz. Hij heeft allerlei ontdekkingen gedaan in de wiskunde, natuurkunde en de astronomie. Bekend is zijn theorie over het licht als golfbeweging.
Hij was ook de eerste die een boekje schreef over kansrekening: (in 1998 is er een nieuwe uitgave van dit boekje uitgekomen: "Van Rekening in Spelen van Geluck", vertaald en toegelicht door Wim Kleijne, 60 blz, ISBN 90-5041-047-2)
Een mooi voorbeeld van een probleem van Huygens (en de oplossing ervan) vinden we in dat boekje.
Probleem 14.
XIV. Voorstel Als ick en noch een ander met beurten werpen met 2 steenen, ende bespreecken dat ick sal winnen, soo haest ick 7 ooghen werp, ende hy, soo haest als hy 6 ooghen werpt, mits dat ick hem de voorwerp geve: Te vinden in wat reden mijn kans tegen de sijne staet.
Dit is een leuke opgave, heel origineel denk ik voor die tijd. Subtiel ook want het is moeilijk te raden wie van de beide spelers de meeste kans heeft te winnen, speler I (ick, Christiaan zelf) of speler A (de ander) Immers I heeft het voordeel dat 7 ogen (met 2 dobbelstenen) een grotere kans heeft (nl 6/36 = 1/6) dan 6 ogen (kans 5/36) Daarentegen heeft A het voordeel dat hij mag beginnen. Er is hier sprake van een rij worpen met 2 dobbelstenen, worp 1, worp 2, ..... A doet de worpen 1, 3, 5, ... (de oneven worpen) I doet de worpen 2, 4, 6, ... (de even worpen ) A wint zodra hij 6 ogen gooit aangenomen dat bij de voorgaande even worpen er niet 7 ogen gegooid is. A kan dus winnen bij worp 1 (kans 5/36) of bij worp 3 (kans 31/36 maal 30/36 maal 5/36) of bij worp 5 etc. Door al die kansen op te tellen (een oneindige meetkundige reeks) vind je de kans dat A wint.
Dit is de oplossing die we tegenwoordig het meest tegenkomen. Huygens doet het heel slim en heeft geen oneindige reeks nodig. Dat gaat ongeveer zo:
Stel de kans dat A wint gelijk is aan a. Voor A zijn er 2 mogelijkheden om te winnen:
Meteen bij de eerste worp. kans 5/36
Bij de eerste worp gaat het mis, maar toch gaat hij uiteindelijk winnen.
Dit betekent dat zijn tegen speler I bij worp 2 niet 7 gooit. Dus, worp1 geeft niet 6 en worp 2 geeft niet 7. maar dan is de toestand voor speler A weer hetzelfde als in het begin en dus zijn kans om te winnen weer a . De kans voor mogelijkheid 2 is dus (31/36)(30/36)·a. De totale winstkans voor A krijgen we door de kansen van mogelijkheid 1) en 2) op te tellen: Dit geeft:
a = 5/36 + (31/36)(30/36)·a
Hieruit bereken je a = 30/61, de kans voor A. Dus de kans voor I is 31/61, net iets meer. De kansen voor ick en de ander verhouden zich dus als 31 tot 30.
Ik heb dit heel kort opgeschreven,zonder de berekeningen uit te werken, dus best mogelijk dat je het een paar keer moet lezen voor je deze slimmigheid van Christiaan begrijpt. Wij zijn tenslotte maar gewone mensen en geen genieën zoals Christiaan H.
Meer van dit soort kansopgaven kun je in het boekje vinden. Veel plezier ermee.
