\require{AMSmath}

Ontbinding in som van twee kwadraten

Een getal dat op drie manieren te schrijven is als de som van twee kwadraten. Hoe kan ik deze vinden?

alexan
Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo - zondag 10 november 2002

Antwoord

Hoi,

Het antwoord op je vraag is niet zo eenvoudig.

Elk getal n van de vorm p⁵ of p.q² waarbij p en q priemgetallen zijn van de vorm 4k+1, is op precies 3 manieren te ontbinden als som van 2 kwadraten (volgorde van termen en tekens van grondtallen spelen geen rol).
Elk veelvoud r.n waarbij r geen priemfactor bevat van de vorm 4k+1 en waarbij elke priemfactor van de vorm 4k+3 een even aantal keer voorkomt, is ook op precies 3 manieren te ontbinden.

De kleinste waarde is dus 5².13=325=1²+18²=6²+17²=10²+15².

Het bewijs hiervan is moeilijk. Je hebt stellingen nodig uit de getallentheorie zoals: 'elk priemgetal van de vorm 4k+1 is te schrijven als som van 2 kwadraten' en 'als x²+y² deelbaar is door een priemgetal p van de vorm 4k+3, dan zijn x en y ook deelbaar door p'.
Als je N wil schrijven als som van 2 kwadraten, dan vind je bij elke deler die enkel uit priemfactoren van de vorm 4k+1 bestaat een unieke ontbinding als som van 2 kwadraten. Er zijn dus evenveel ontbindingen als er delers van die vorm bestaan.

Een ander antwoord is dat je een programmaatje kan schrijven, of het in Excel kan laten berekenen (al is het om de theorie te visualiseren en te toetsen).

Groetjes,
Johan

andros
dinsdag 12 november 2002

©2001-2024 WisFaq