De inhoud van een kubus kan je berekenen door de derdegraadswortel van de zijde, vb: 4x4x4=64. Hoe kan je nu de zijde berekenen als alleen de inhoud gekend is, dus de derdegraadswortel uit de inhoud zonder de hulp van een rekenmachien. Bestaat er dus een manuele manier zoals een vierkantswortel.
dirk
Iets anders - zondag 10 november 2002
Antwoord
Hoi,
Je kan inderdaad wortels benaderen. Eén van de manieren bestaat er in om numeriek 0-punten van f(x)=xn-a te bepalen waarbij a het getal is waarvan je de n-de wortel wil berekenen.
Je weet wellicht dat de raaklijk aan f(x) in een punt (x0,f(x0)) gegeven is door: R: y=f(x0)+f'(x0)(x-x0).
Voor waarden van x0 dicht van de n-de wortel van a zal deze raaklijn de y-as snijden in een punt dat dicht bij de n-de wortel van a ligt. Dit is een voorbeeld van het principe van de methode van Newton-Raphson. (via Newton-Raphson vind je meer info over deze methode).
In ons geval snijdt R de Y-as bij y=0 en dus x=x0-f(x0)/f'(x0) Concreet is f(x)=xn-a en f'(x)=n.xn-1
De raaklijn R snijdt de Y-as dus waar x=x0-(x0n-a)/(n.x0n-1)=[(n-1).x0+a/x0n-1]/n. Als we x1=[(n-1).x0+a/x0n-1]/n noemen, dan kunnen we in (x1,f(x1)) opnieuw een raaklijn tekenen en deze blijkt de Y-as te snijden in een punt dat nog dichter bij de n-de wortel ligt van a.
Op deze manier kunnen we een rij x-waarden x0=0.5, x1, x2, ... construeren die steeds dichter bij de (positieve reële) n-de wortel van a liggen. (Ik laat hier buiten beschouwing waarom deze rij altijd convergeert voor x0=0.5)
Voor de vierkantswortel krijgen we dus een iteratieve formule: x0=0.5 xk+1=[xk+a/xk]/2
En voor de 3de wortel: x0=0.5 xk+1=[2.xk+a/xk2]/3 (Of je dit echt met de hand wil doen is een andere vraag) Probeer maar eens...
