Ik ben een werkstuk aan het maken over de maximale overspanning van een hangbrug. Ik ben begonnen met het berekenen wat de maximale lengte van een balkbrug mag zijn bij een belasting die ik al weet.
Daarbij heb ik allerlei verschillende formules: De maximale spanning in een balk = (Moment * hoogte/2)/I, I = da3/4. Moment = -ql2/2 (q=belasting op de balk, al bekend, l=lengte van de balk), hoogte/2=a+d/2.
Dus als ik alles in elkaar zet krijg ik:
maximale spanning = (-ql2/2)*(a+d/2)/(da3/4).
Maximale spanning is bekend, q is bekend, ik zoek het maximum van l(lengte), en daarbij moet ik zo weinig mogelijk staal gebruiken.
Ik zoek de doorsnede met de minste oppervlakte.
De oppervlakte is 3da.
Hoe ga ik dit probleem oplossen? Zijn er programma's voor, of grafieken, 3d grafiek?
Ik heb het liefst een algemeen antwoord zodat ik het bij meerdere formules kan toepassen, als een analytische methode mogelijk is, zou dat handig zijn, want het is voor een profielwerkstuk, maar software is ook handig.
Alvast bedankt!
Gökhan
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 27 oktober 2007
Antwoord
Hallo, Gökhan.
Je gebruikt te weinig haakjes, dus ik heb hier en daar moeten raden wat je bedoelt. Dadelijk, na beantwoording, ga ik je vraag editen. Als ik het anders doe dan je bedoelde, moet je me waarschuwen. Ik neem verder aan dat I voor inhoud staat, dus voor de hoeveelheid staal. Als deze aannamen kloppen, zou ik als volgt te werk gaan:
De (absolute waarde van de) maximale spanning neemt toe als a afneemt, als d afneemt, en als l toeneemt. (Het minteken geeft alleen een neerwaartse richting aan, dat laat ik voortaan weg.) De inhoud en de oppervlakte nemen ook af als a en/of d afnemen. Je zoekt dus een compromis tussen enerzijds de behoefte aan kleine a en kleine d, en anderzijds de behoefte aan grote lengte l.
Nu weet ik niet welke randvoorwaarden er verder zijn voor het verband tussen d, a en l, behalve dat ze alledrie positief moeten zijn, maar als de maximale spanning bekend is, zoals je zegt, en gelijk aan P, dan vinden we, zodra je de maximale spanning toepast, het volgende verband tussen l, d en a:
l=Ö((P*da3/4)/((q/2)*(a+d/2))).
(In de praktijk zal l gegeven zijn, want de brug moet een gegeven hindernis overbruggen, en dan vind je hier dus een verband tussen a en d. Maar goed, je wilt de maximale l weten, dus daar ga ik van uit.)
Het probleem wordt nu: maximaliseer da3/(2a+d) en minimaliseer da en da3.
Ik zou een tabel maken met voor alle mogelijke waarden van a en d de functiewaarden van deze functies. Dan kun je een afweging maken.
Ik ga nog even in op wat je niet stelt, maar voor de hand ligt: stel dat l gegeven is. Dan vind je het volgende verband tussen d en a: d=2aql2/(a3P-ql2). Hee, dit levert een randvoorwaarde voor l op, omdat d positief moet zijn, namelijk lÖ(a3P/q). Dus misschien is dit toch wat je zoekt.
Ö(a3P/q).