\require{AMSmath}

Op hoeveel manieren

Staatsloten: 2 letters, 6 cijfers. Hoeveel mogelijke optelwaardes zijn er? B.v. aa 090005: 1+1+9+5=16/7. 16/7 is een optelwaarde. Z is de 26e letter, heeft optelwaarde 26, maar ook 8 (2+6)etc. Hoe verandert het aantal mogelijkheden als één van de cijfers vaststaat?

Nog een vraagje, wat is de kans dat je, als je b.v. een lot eindigend op 1 vraagt, de waardes 22/4 en 13/4 krijgt? (B.v. door lotnr. an 030031- 1+14+3+3+1=22/4 en 1+1+4+3+3+1=13/4)

Alvast heel erg bedankt!!

Sarah
Iets anders - zaterdag 9 november 2002

Antwoord

Hoi,

Je hebt dus 8 termen. De eerste twee hebben waarden 1 tot en met 26, de laatste 6 waarden 0 tot en met 9.
De kleinst mogelijke combinatie is A,A,0,0,0,0,0,0 met waarde 2/2.
De grootst mogelijke combinatie is Z,Z,9,9,9,9,9,9 met waarde 2*26+6*9=106/7 Alle waarden tussen 2 en 106 worden bereikt. De getallen na het /-teken zijn functie van het eerste getal. Er zijn dus 106-2+1=105 verschillende mogelijkheden.

Als je een letter vastzet, heb je volgende aanvullingen:
kleinste: A,0,0,0,0,0,0 met waarde 1
grootste: Z,9,9,9,9,9,9 met waarde 26+6*9=80
De uiteindelijke waarden moet je nog verhogen met de waarde van de vaste letter. Alle tussenliggende waarden kunnen bereikt worden, er zijn dus 81 mogelijkheden.

Als je een cijfer vastzet, heb je volgende aanvullingen:
kleinste: A,A,0,0,0,0,0 met waarde 2
grootste: Z,Z,9,9,9,9,9 met waarde 2*26+5*9=97
De uiteindelijke waarden moet je nog verhogen met de waarde van het vaste cijfer. Alle tussenliggende waarden kunnen bereikt worden, er zijn dus 96 mogelijkheden.

Je tweede vraag is heel wat leuker.

Het laatste cijfer staat vast op 1. Er zijn dus 26².10⁵ mogelijke loten (ik veronderstel dat ze inderdaad allemaal uitgegeven worden).

We tellen nu hoeveel combinaties met laatste cijfer 1 er zijn die als som 22 hebben.

Dit is te formuleren als : je hebt 7 zakjes B₁, B₂, .., B₇ met plaats voor respectievelijk 25,25,9,9,9,9 en 9 knikkers. Je hebt 22-2=20 (of 13-2=11) knikkers, op hoeveel manieren kan je die verdelen?

In het algemeen hebben we n knikkers, m zakjes B_i met limiet L_i. Hoe kunnen we die verdelen?

We noteren N(j,n) het aantal manieren om n knikkers in de zakjes B_j,B_j+1,..,B_m te verdelen. We zijn geïnteresseerd in N(n,1), het aantal manieren om n knikkers over alle bruikbare zakjes te verdelen.

We hebben:
N(m,n)=1 voor n <= L_i
N(m,n)=0 voor n > L_i
en N(j,n)=sum(i:0..min(n,L_j) van N(i+1,n-i))
(In het j-de zakje stoppen we i knikkers en de overige n-i verdelen we over de volgende zakjes)

Als je dit uitrekent (in Excel bv) krijg je: N(20,1)=190200 en N(11,1)=12341.
In totaal zijn er 26².10⁵ mogelijkheden.
De kans is dus p=(190200+12341)/26₂.10₅=0.29962%...



De sommen blijken normaal verdeeld te zijn. Om dit in te zien kan je bedenken dat de samenstelling van een (voldoende groot) aantal variabelen met willekeurige verdelingen een normale verdeling benadert. De elementaire verdelingen hier zijn die van de opeenvolgende tekens. Elke cijfer of letter is even waarschijnlijk. We stellen dus 7 uniforme verdelingen samen. Je kan de parameters m en s van de normaalverdeling afleiden uit die van de samenstellende verdelingen. Hiermee kan je de gevraagde kansen dan benaderd berekenen.

Bemerk tot slot dat de berekening onafhankelijk is van welk cijfer je vastzet of waarop je het vastzet. Als je een letter wil vastzetten, daarentegen, dan moet je alles nog eens herrekenen...

Groetjes,
Johan

andros
zondag 10 november 2002

©2001-2024 WisFaq