Gegeven is dat x_n convergeert naar een reeel nummer X. Ik moet met dit gegeven (en de epsilon - N definitie van een limiet) nu bewijzen dat x_(n+1) ook naar X convergeert.
Het probleem is dat ik eigenlijk geen idee heb waar ik moet beginnen. Ik hoop dat u mij kunt helpen. Ik hoef geen volledige oplossing of zo te hebben, elke een aanzet zodat ik het zelf kan oplossen.
Bij voorbaat dank,
herman
herman
Student universiteit - vrijdag 12 oktober 2007
Antwoord
beste,
als een rij convergeert in een ruimte X, met een metriek op, dan kan men de epsilon N defninitie toepassen,
"e$n0:"nn0: d(xn,x)e
Deze definitie wil uitdrukken, dat vanaf een bepaalde index ''n0'' dat de afstand van een rij element, met een index groter dan die bewuste index : n0, de afstand kleiner dan e wordt. bv 1/n, vanaf een bepaald moment zal 1/n dichter dan e bij 0 komen te liggen. Dus je wil bewijzen dat xn+1 dichter dan e bij x (het convergentiepunt) ligt.
stel n n0, dan geldt dat d(xn,x) e
maar dit geldt voor ALLE n groter dan n0, dus ZEKER voor n + 1, want het getal dat bij deze rijindex hoort ligt zeker dichter dan epsilon bij het convergentiepunt.
n0: d(xn,x)
e