\require{AMSmath}

Bepaling van de brandpunten van een ellips

Kan iemand mij uitleggen hoe je
f1 en f2 ( brandpunten ellips ) bepaalt ?
Als je weet dat a > b·2?

Deze ongelijkheid is vrij algemeen en je zou f1 en f2
( standaard c , en -c , en c = (a²-b²),
maar hoe verwerk je dat als: a > b·2?

Benjam
3de graad ASO - vrijdag 8 november 2002

Antwoord

Hoi Jan/Benjamin

Jij stelde toch de vraag ellips. Ik leid uit de context af dat f₁ en f₂ de brandpunten zijn. Met a>b krijgen we inderdaad dat f₁(-c,0) en f₂(c,0) met c=sqrt(a²-b²). (Zie ook http://mathworld.wolfram.com/Ellipse.html)

De cirkel C uit mijn eerder antwoord heeft dus vergelijking:
C: x²+y²=c²=a²-b² (1).

Nu moet je de snijpunten met je ellips (x/a)²+(y/b)²=1 (2) bepalen.

Uit (1) haal je: y²=a²-b²-x² (3).

Met (2) geeft dit:
b²x²+a²(a²-b²-x²)=a²b²
Waaruit: x²=(a²-2b²).a²/(a²-b²). Enkel als x²>0 hebben we 2 verschillende wortels voor x. Voor elke reële waarde van x vinden we 2 wortels voor y uit (3). In totaal zijn er dus 4 snijpunten als en slechts als a²-2b²>0 of a>b.Ö2 (omdat a en b strikt positief zijn). (QED)

Groetjes,
Johan

andros
vrijdag 8 november 2002

©2001-2024 WisFaq