\require{AMSmath}

Hoeken berekenen

Gegeven is vierkant ABCD . Binnen dit vierkant ligt een punt E zó dat $\angle$ cde = $\angle$dce = 15°
Bereken exact $\angle$EAD
In het antwoord mogen geen uitdrukkingen staan als sinus, cosinus, tangens etc.



Deze som moet ik voor het vak wis D oplossen. maar ik snap hem niet. Ik heb verschillende vergelijken gemaakt, maar ze komen steeds uit op 180=180 of x=x of x=0 en dit klopt niet ook ben ik erachter gekomen dat dit figuur uit 8 driehoekjes bestaat. ik ben er achter gekomen dat $\angle$ADE 75 ° is. zo ook hoek ECD.
hoek DEC = 150 °
hoek DAE = x °
dan = hoek AEB 2x°
hoek EAB en hoek EBA zijn 90 - x °
hoek DEA en hoek BEC zijn 105 - x °

Ik hoop dat u mij kan helpen deze som op te lossen, ik weet niet zeker op dit de goede categorie is maar ik kon de categorie hoeken niet vinden.
BVD

Mariek
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 8 oktober 2007

Antwoord

Dag Marieke,
Zoals wel vaker zijn er meerdere wegen naar Rome.

Je kan het goniometrisch oplossen:
Stel de zijden van het vierkant zijn 2.
Dan is EG=2-tan(15^o).
Met de verdubbelingsformules vindt je:
tan(2x)=2tan(x)/(1-tan²(x))
tan(2x)=tan(30^o)=¹/₂√3.
Links en rechts vermenigvuldigen met (1-tan²(x)) geeft:
¹/₂√3(1-tan²(x))=2tan(x)
Dit geeft een tweedegraads vergelijking in tan(15^o) die je met de abc-formule kan oplossen.
En dan invullen in de vergelijking voor EG.

Het kan ook met: tan(2x)=sin(2x)/cos(2x)
cos(2x)=1-2sin²(x), dus sin(x)=√¹/₂√(1-cos(2x))
cos(2x)=2cos²(x)-1, dus cos(x)=√¹/₂√(1+cos(2x)).
Vul maar in en vereenvoudig.(cos(30^o)=1/√3)
Als je het goed doet vindt je: GE=√3. Maar dan is hoek GAE=60^o.



Meetkundig kan het nog makkelijker, maar je moet wel op het idee komen:
Bedenk dat hoek ADE=75^o. En 75=60+15
Je kan dus $\Delta$AFD tekenen die congruent is met $\Delta$DEC.
Trek ook EF.
Waarom is $\Delta$DEF gelijkzijdig?
Gevolg: $\Delta$AEF is gelijkbenig en de tophoek AFE=?
En hoe groot is $\angle$FAE?

ldr
maandag 8 oktober 2007

©2001-2024 WisFaq