Sorry, de vraag wordt in mijn boek in het engels gesteld:
Show that every case the extrinsic curvature of any geodesic on a cylinder is pointing in a direction that is normal to the surface. Ik ben aardig op weg, maar hoe maak ik het af?
• Suppose the curvature ã is a circle with radius r on the cylinder surface:
ã (t) = ( r cos (t), r sin (t) , t ), Then:
ã (t) = P (( u(t) , v(t)), So u(t) = r cos t and v(t) = r sin t. ã ‘(t) = (-r sin t , r cos t , 1 ) ã “(t) = (-r cos t , -r sin t , 0)
ã “(t) • dp/du = deze uitkomst moet nul zijn. Maar dat lukt maar niet......
Ben benieuwd naar het antwoord. Alvast bedankt!!!!!
Maarte
Student universiteit - maandag 1 oktober 2007
Antwoord
Beste Maarten,
De parameter voorstelling van het cylinderoppervlak heeft parameters u en v. Daarin is u de hoek en v de hoogte. Een punt op de cylinder in "gewone" coordinaten is dan: (rcos(u), r(sin(u),v). Een cirkel op hoogte S0 heeft coordinaten: (rcos(t),rsin(t),S0). Als u=t en r=1 dan voldoet je cirkle aan de parametrisering van het cylinderoppervlak. Nu is ã"(t)×dp/du=-cos(t)×(-sin(t))+(-sin(t)×cos(t)+0×0=0 Het product met dp/dv is uiteraard ook 0, zodat de "extrensic curvature" inderdaad loodrecht staat op het oppervalk. Daarmee toon je dus aan dat die cirkel een geodesic is. Zie: http://math.etsu.edu/MultiCalc/Chap3/Chap3-8/part1.htm
