\require{AMSmath}

Feestverpakking

Een bedrijf maakt feestverpakkingen. Om de grondstofkosten zo laag mogelijk te houden wil men weten bij welke afmetingen het totale oppervlak zo klein mogelijk is(minimaal). De boven en onderkant van de feestverpakking bestaan uit gelijkzijdige driehoeken; hierbij is de lengte van de zijde b. De zijvlakken bestaan uit rechthoeken; hierbij is de hoogte van de rechthoek gelijk aan h en de 'breedte' gelijk aan b.

Gegeven:

Opp driehoek = ¹/₄3·b².

De inhoud van de feestverpakking is: ¹/₄·3·b²·h.

1. Wat is het verband tussen het totale buitenoppervlak van de feestverpakking, de breedte b en de hoogte h.
2. Druk h uit in b
3. Wat is het verband tussen de totale buitenoppervlak van deze vorm en de 'breedte' b.
4. Bereken de waarde van b waarvoor het totale buitenoppervlak zo minimaal mogelijk is.
5. Hoe hoog is het doosje dan?

Ik wil jullie hartelijk danken(!!) voor het oplossen van deze opgave! Ik zit niet meer op school, maar wil gewoon zelfstudie doen voor wiskunde en zie het als hobby.

Hugo F
Student hbo - woensdag 26 september 2007

Antwoord

Hallo Hugo

Bij dit probleem gaat men er van uit dat de inhoud een bepaalde waarde heeft, bijvoorbeeld 2 dm³.
We stellen deze inhoud voorlopig gelijk aan I.
We moeten dus de afmetingen van de doos, met een gegeven inhoud van I, zoeken zodat de oppervlakte minimaal is.

De totale oppervlakte is dan O = ¹/₂.Ö3.b² + 3.b.h
Dit drukt de oppervlakte O uit in functie van 2 variabelen b en h.
Om de minimale waarde voor deze oppervlakte te berekenen moeten we de oppervlakte O uitdrukken in functie van slechts één variabele (b) en daarna de afgeleide gelijk stellen aan 0.
Dus drukken we h uit in functie van b :
h = ^4.I/_Ö3.b²

Nu kunnen we de oppervlakte O uitdrukken in functie van één variabele b:
O = ¹/₂.Ö3.b² + 3.b.^4.I/_Ö3.b²
= ¹/₂.Ö3.b² + ^4Ö3.I/_b
= ¹/₂.Ö3.(b² + ^8.I/_b)
= ¹/₂.Ö3.^(b3+8.I)/_b

De afgeleide D(O) = ^Ö3/_b².(b³ - 4.I)
Dus is gelijk aan 0 als b = ³Ö(4.I)
Voor deze waarde van b zal de doos met inhoud gelijk aan I een minimale oppervlakte hebben.
Stel nu dat de inhoud I van de doos gelijk moet zijn aan 2 dm³
Om een minimale inhoud te verkrijgen zal de waarde van b gelijk moeten zijn aan ³Ö(8) = 2 dm
De hoogte zal dan moeten gelijk zijn aan ^4.I/_Ö3.b² = 1.155 dm

LL
woensdag 26 september 2007

©2001-2024 WisFaq