\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 51321

Re: Wat is een parametervergelijking

Is het nu zo dat je elke kromme genoteerd als impliciete functie kan omzetten naar een notatie in parametervorm? En omgekeerd? Of bestaan er krommen die uitsluitend in één van beide kunnen worden beschreven?

Tom
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 20 september 2007

Antwoord

Elke kromme kan beschreven worden met een parametervergelijking. De eenvoudigste manier om je dat voor te stellen zijn parametervergelijkingen waarbij voor toenemende waarden van de parameter de kromme continu wordt doorlopen van het ene uiteinde naar het andere uiteinde. Teken een kromme en zet over de lengte van de kromme punten die je toenemende waarden van t geeft. Zo maak je functies f en g zodat

x=f(t)
y=g(t)

een parametervoorstelling is van die functie. Het is natuurlijk helemaal niet gezegd hoe je gemakkelijk zo een stel functies f en g kan vinden, zo een algemene manier bestaat dan ook niet. Op dezelfde manier kan je ook gemakkelijk begrijpen dat er oneindig veel dergelijke parametervoorstellingen bestaan voor eenzelfde kromme. Als q(t) namelijk een functie is van t die hetzelfde bereik heeft als de parameter t, dan is

x=f(q(t))
y=g(q(t))

evenzeer een parametervoorstelling van dezelfde kromme. Je hebt dan gewoon de punten op een andere manier "genummerd".

Voorbeeld:

x = cos(t)
y = sin(t)
met t gaande van 0 tot 2Pi

beschrijft een cirkel met straal 1 rond de oorsprong. Maar

x = cos(t² / 2Pi)
y = sin(t² / 2Pi)
met t gaande van 0 tot 2Pi

beschrijft exact dezelfde cirkel. Het enige verschil is dat in het eerste geval je mooi gelijkmatig de cirkelomtrek doorloopt bij toenemende t-waarden en in het tweede geval je steeds versnelt (t²/2Pi stijgt sneller dan t, maar uiteindelijk bereik je hetzelfde interval, namelijk [0,2Pi[).

cl
vrijdag 21 september 2007

Re: Re: Wat is een parametervergelijking?

©2001-2024 WisFaq