\require{AMSmath}

Raaklijn

Hallo, ik zit met een vraag waar ik niet helemaal uitkom.
De opgave is als volgt:
Bepaal de vergelijkingen van de raaklijnen aan de grafiek van de functie y(x)=2x²+2 die de x-as snijden in het punt x=1
Wat ik weet:
De raaklijn is van de vorm y=ax+b
a kan ik bepalen met behulp van de afgeleiden van de functie y, dus a=4x m

maar ik heb geen idee hoe ik verder moet: hoe bepaal ik b en kom ik dus uiteindelijk aan de formule van de raaklijn

Dan heb ik nog een vraagje: bij de opgave bepaal de raaklijn aan de grafiek van de functie y(x)=x^(1/2)´x^(1/3) in het punt (1,y(1))krijg ik als antwoord y=(1/6)x+(5/6) maar in het antwoordenboekje staat nu y=(5/6)x+(1/6)
dus nu ben ik een beetje in de war over wat het goede antwoord moet zijn, het is toch zo dat ik a bereken als ik x invul in de afgeleide van y(x) (of reken ik dan toch b uit)?

Alvast bedankt

Jiska
Student universiteit - dinsdag 11 september 2007

Antwoord

Je eerste vraag kan opgelost worden met de wiskunde van de middelbare school.
Je gaat uit van een lijn met vergelijking y = ax + b en omdat de lijn door (1,0) moet gaan, krijg je dus al direct 0 = a.1 + b ofwel b = -a.
De lijnvergelijking versimpelt daarmee tot y = ax - a.
Ga de lijn nu snijden met de parabool. Dat levert op ax - a = 2x² + 2 ofwel
2x² - ax + (a+2) = 0
Omdat er een raking wordt verlangd, moet deze tweedegraads vergelijking maar 1 oplossing hebben en dat vergt dat D = 0.
Je krijgt daarom (-a)² - 4.2.(a+2) = 0 en daar kom je verder wel uit.
Uiteraard kan dit probleem ook met de techniek van differentiëren worden aangepakt (en voor ingewikkelder functies zal dat ook wel moeten), maar in dit geval kun je daar mooi omheen lopen.

Bij vraag 2: de functie y = x^(1/2) . x^(1/3) kun je vereenvoudigen tot y = x^(5/6) omdat de exponenten opgeteld kunnen worden.
De afgeleide is dan y' = 5/6 . x^(-1/6) en invullen hierin van x = 1 levert de waarde 5/6 op.
Dit is de richtingscoëfficiënt van de gevraagde raaklijn en de vergelijking wordt dan alvast iets van de vorm y = (5/6)x + b.
Vul nu x = 1 ook in de 'gewone' functie waarmee het raakpunt bekend is. Je krijgt (1, 1).
Invullen van deze coördinaten in de raaklijnformule levert de gezochte b op.

MBL

MBL
dinsdag 11 september 2007

©2001-2024 WisFaq