\require{AMSmath}

Als abc geconjugeerd met cba, dan....

Beste wisfaq,

Ik heb de volgende vraag. Hoe laat men zien dat: Als voor alle a,b,c in de Groep G geldt abc is geconjugeerd met cba, dan is G abels. Kunt u mij zeggen hoe dit bewezen kan worden.

Vriendelijke groet

Jim
Student universiteit - zaterdag 18 augustus 2007

Antwoord

Hoi Jim,

Ik heb het! Je maakt gebruikt van het feit dat het neutrale element (e) alleen geconjugeerd is met zichzelf. Met geconjugeerd bedoel je (neem ik aan): u en v uit G zijn geconjugeerd d.e.s.d.a. er een x uit G is z.d.d. xux^inverse=v. Wanneer nu u geconjugeerd is met e is er een x z.d.d. u = xex^inverse = e. Dus moet u dan wel gelijk zijn aan e.

Nu het bewijs: Neem willekeurige a en b uit G en c de inverse van ab. Dan is abc=e en natuurlijk is ab gelijk aan de inverse van c. Volgens het gegeven is cba geconjugeerd met abc=e en dus: cba=e. Nu geldt dat ba ook gelijk is aan de inverse van c. Tenslotte volgt: ba = ab zodat G abels is.

Groet. Oscar

os
zaterdag 25 augustus 2007

©2001-2024 WisFaq