Hoe pak ik nu volgende ogenschijnlijk eenvoudige ingtegraal aan? ò|cos(x)|dx met bovengrens 2pen ondergrens 0? Dit levert toch met de genomen integraal : sin2p-sin0= 0. Het antwoordboek geeft nochtans 4. Doe ik iets verkeerd met de absolute waarden of zo ?? Groeten, Rik
Lemmen
Ouder - donderdag 9 augustus 2007
Antwoord
Dag Rik,
Waarschijnlijk negeer je gewoon de absolute waarde? Dat is dus fout... Als je trouwens even denkt aan de interpretatie van integraal, als oppervlakte onder een functie, dan kan je nooit nul uitkomen: de functie |cos(x)| is overal positief of nul, dus netto zit er wel degelijk een oppervlakte tussen de x-as en die functie.
Nu, hoe bereken je zo een integraal? Dat gaat eigenlijk altijd op dezelfde manier wanneer er absolutewaardetekens in de integrand zitten: je moet die tekens eerst wegwerken, en dat doe je door een tekenonderzoek, hier dus een tekenonderzoek van cos(x).
Kijk dus na (bv op de goniometrische cirkel) voor welke x geldt dat cos(x)0, dat betekent dat |cos(x)|=cos(x). En voor de andere x'en geldt dan dat cos(x)0, zodat |cos(x)|=-cos(x).
En dan splits je de integraal op: enerzijds integreer je de functie cos(x) over die eerste x-waarden, anderzijds integreer je de functie -cos(x) over die andere x-waarden. Beide resultaten samentellen geeft inderdaad 4 als uitkomst.
0, dat betekent dat |cos(x)|=cos(x). En voor de andere x'en geldt dan dat cos(x)
0, zodat |cos(x)|=-cos(x).