Laplace-vergelijking oplossen met Fourier getransformeerde
Beste wisfaq,
Ik ben al een tijd bezig met het oplossen van de Laplacevergelijking op een semi-oneindige strook voor partiele differentiaalvergelijkingen. Het probleem is als volgt:
¶2u/¶x2+¶2u/¶y2=0 met 0xL en -¥y¥ en randvoorwaarden u(o,y)=g1(y), u(L,y)=g2(y).
De randen bij x=0 en x=L zijn niet homogeen, dus misschien dat het daar een goed idee is om de Fourier-cosinus-getransformeerde te gebruiken... Ook als y®±¥, dan u(x,y)®0, dus leek het mij een goed idee om de Fourier getransformeerde in de y-richting te doen.
Ik heb het een en ander geprobeerd, maar ik kom er niet uit. Het zou heel fijn zijn als u mij een eind op weg kan helpen.
Alvast bedankt! groeten, Mick Kahmann
Mick K
Student universiteit - woensdag 18 juli 2007
Antwoord
Dag Mick,
Mooie vergelijking. Golffunctie in een periodieke potentiaal? Electrische potentiaal? Maar goed. Ik ben geen specialist maar je vindt inderdaad oplossingen van de vorm u = exp(a·x+b·y) met a2+b2=0 oftewel a = ±ib. Bij deze randvoorwaarden heb je het meest aan de combinaties: u(x,y) = e±kxsin(ky) en u(x,y) = e±kxcos(ky). Een beetje grof gezegd: als f1 en f2 de fourier getransformeerde van g1 en g2 zijn dan zoek je a en b zodat: f1(k) = a+b en f2(k) = a·ekL+b·e-kL
x